Speranza matematica e gioco equo

[MrMojoRisin89]

Ciao a tutti, si trovano varie definizioni di gioco equo, alcune delle quali non mi convincono.
Io sapevo che un gioco è equo quando la speranza matematica è nulla.
Consideriamo il classico esempio di testa o croce, dove si vince 1€ se esce testa, scommettendo 1€:
$E[X] = 1/2 * 1 + 1/2 * (-1) = 0$
quindi il gioco è equo.

In rete si trovano definizioni un po' confusionarie, come questa da wikipedia:

In probabilità, si definisce gioco equo il gioco nell'ambito del quale si paga al vincitore una somma $Q$ pari all'importo giocato $S$ diviso per la probabilità di vittoria $p$.

$Q=S/p$.
Per esempio, scommettendo 1€ a 'testa o croce' sulla possibilità che esca testa, se si verifica l'evento, che ha probabilità $1/2$, perché il gioco sia equo il vincitore deve ricevere un premio di 2€.

Definizione che fa riferimento a un sito appartenente all'università Bocconi.
Come potete spiegare questa discrepanza?

[ghira]

Ti ridanno l'euro giocato, più
un altro euro.

[MrMojoRisin89]

Ok, ma, da definizione, il gioco dovrebbe essere equo anche senza ricevere indietro l'euro giocato, proprio perché, anche in questo caso, il valore atteso è 0 (ricevendo 2€ il valore atteso è 0.5) o sbaglio?
Ti riformulo la domanda:
Mi dici come si arriva alla formula
$Q=S/p$?

[ghira]

Ok, ma, da definizione, il gioco dovrebbe essere equo anche senza ricevere indietro l'euro giocato,

Mica tanto.

Paghi un euro. Se perdi, non ti danno nulla. Se vinci e ti danno un euro, non hai guadagnato nulla. Se ti
danno due euro hai guadagnato qualcosa.

A me non piace questa visione della cosa. Preferisco di gran lunga la versione con -1 se perdi e +1 se vinci.

Comunque, se perdi e non ti danno nulla, hai perso un euro. Se vinci e ti danno due euro, hai guadagnato
un euro.

[ghira]

Mi dici come si arriva alla formula
$Q=S/p$?

I "premi" sono 0 se perdi, $Q$ se vinci.

Qualsiasi persona normale direbbe che guadagni $-S$ se perdi, $Q-S$ se vinci. (Nel "premio" $Q$, la somma giocata $S$ non è un guadagno.)

Vogliamo $-S(1-p)+(Q-S)p=0$ per un gioco equo.

$-S+Sp+Qp-Sp=0$
$-S+Qp=0$
$Q=S/p$

[MrMojoRisin89]

Ho capito. Concordo con te, visione confusionaria. Anch'io preferisco di gran lunga la versione con +1 e -1.
Grazie per i chiarimenti