Markov, probabilità stazionaria?

[Thunderbolt]

Buongiorno, ho un problema con questo esercizio in quanto non ho esempi a riguardo dati dal prof.
Mi trovo ad affrontare questo esercizio, e credo si tratti di trovare le probabilità stazionarie dei vari stati che si e valutare quale si verifica con maggiore probabilità.
Qualcuno potrebbe indicarmi il procedimento dello svolgimento corretto?
Grazie.


Ho impostato come
stato 1 = bici
stato 2 = mezzi
stato 3 = auto

Io ho valutato la matrice P = [1/3 1/3 1/3; 0 0 1; 1/2 1/2 0]

Dopodichè ho calcolato la matrice (I-P) e ne ho fatto la trasposta e impostato il seguente sistema:

$ [2/3 0 -0,5; -1/3 1 -0,5 ; 1 1 1]*(pi_1 pi_2 pi_3)^T = (0 0 1) $

e mi trovo pi_1=0,3 ; pi_2 = 0,3; pi_4 = 0,4 e quindi ne ho dedotto che utilizzerà maggiormente l'auto.

Sapreste dirmi se è corretto? grazie

[ghira]

credo si tratti di trovare le probabilità stazionarie dei vari stati che si e valutare quale si verifica con maggiore probabilità

Hai provato a farlo?

[Thunderbolt]

credo si tratti di trovare le probabilità stazionarie dei vari stati che si e valutare quale si verifica con maggiore probabilità

Hai provato a farlo?

Ciao Ghira si, ho provato a trascriverlo ma non riesco a scrivere bene sul forum le formule ecc quindi scusami della sintassi, spero si capisca.

[ghira]

e mi trovo pi_1=0,3 ; pi_2 = 0,3; pi_4 = 0,4 e quindi ne ho dedotto che utilizzerà maggiormente l'auto.

Puoi controllare se queste probabilità sono stazionarie o no. L'hai fatto?

[Bokonon]

Puoi controllare se queste probabilità sono stazionarie o no. L'hai fatto?

E' già implicito nel metodo utilizzato.
Gli fanno scrivere la matrice per righe e poi facendo $I-P$ gli fanno imporre che l'autovalore sia 1.
Poi gli fanno trasporre la matrice e risolvere il sistema omogeneo (quello che ha scritto l'OP è errato...come anche la matrice seguente...ma magicamente ha ottenuto il risultato corretto ).
Alla fine di mille passaggi, di cui la metà inutili, ha ottenuto quindi l'autovettore corrispondente all'autovalore 1.

[ingres]

Ciao Bokonon

per il metodo che ha seguito Thunderbolt per calcolare il valore stazionario sono responsabile io e nel caso me ne assumo la responsabilità.
Trovi il dettaglio in questo post.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4&t=225244

Però, secondo me, la domanda di ghira è ancora perfettamente lecita. Il fatto che si trovi una possibile soluzione stazionaria non vuol dire automaticamente che il sistema ci finisca.
Un esempio stupido, sicuramente non applicabile al caso in questione, è l'equazione ricorsiva

$1/2 x_(n+1) = x_n$ che ha come possibile soluzione stazionaria $x_n=0$ ma che chiaramente, partendo da un valore diverso da zero, diverge.

[ghira]

Però, secondo me, la domanda di ghira è ancora perfettamente lecita. Il fatto che si trovi una possibile soluzione stazionaria non vuol dire automaticamente che il sistema ci finisca.

Intendevo, più banalmente, "Se cominci in quello stato e moltiplichi per la matrice di transizione, ti ritrovi nello stesso stato?". Almeno in questo caso è una verifica che si può fare abbastanza facilmente.

[Bokonon]

@ghira Come al solito ho capito male io Perdono

@ingres Devi scusarmi ma non ho letto i tuoi links...ma lo farò!
Capisco che possa risultare criptico ma ti reputo perfettamente in grado di seguire il ragionamento seguente.
Ogni matrice quadrata ha i medesimi autovalori della sua trasposta. Prendiamo una matrice di Markov le cui colonne sommano ad 1. Le righe della trasposta sommano anch'esse quindi ad 1. Ergo se moltiplico la trasposta per un vettore le cui componenti sono tutte pari ad 1 allora scopro che esso è banalmente un autovettore della trasposta collegato all'autovalore 1.
Quindi anche la matrice di partenza deve avere almeno un autovalore pari ad 1 (per la precisione tutti gli autovalori sono compresi fra 0 ed 1 ma mi premeva sottolineare che esiste sempre almeno uno stato stazionario...come vedremo).

Secondo punto: applicare n volte una matrice di transizione ad uno stato iniziale è equivalente ad applicare la matrice elevata alla ennesima potenza al detto stato iniziale.
Ora diagonalizzando abbiamo che $P^n=SD^nS^(-1)$
Ma D è una matrice diagonale con almeno un 1. $D^n$ contiene quindi i valori elevati alla ennesima potenza. Per $n->oo$ sopravvivono solo gli autovalori unitari mentre gli altri vanno a zero (se già non lo erano in partenza).
Quindi gli autovettori collegati all'autovalore 1 sono stazionari (vettori a somma 1 a cui converge la catena).

Tornando al punto precedente, esiste almeno uno stato stazionario.

[ingres]

Ciao Bokonon

Se tutti gli autovalori sono compresi tra 0 e 1 sono già convinto e non mi basta altro.

Come hai fatto notare nell'altro post è un sistema scritto male perchè tale è la prassi, ma, se fosse scritto come si deve, sarebbe un normale sistema dinamico alle differenze come questo:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9#p8573469

@ Thunderbolt: la spiegazione di Bokonon riassume, ovviamente in modo necessariamente succinto, la teoria per i sistemi discreti similarmente a quella che hai già visto per i sistemi continui.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4#p8580072

In pratica valgono concetti simili, laddove nel caso continuo avevi autovalori a parte reale negativa e autovalori a zero, nel caso discreto hai autovalori di modulo minore di 1 e autovalori uguale 1.

[Bokonon]

Ciao Bokonon

Se tutti gli autovalori sono compresi tra 0 e 1 sono già convinto e non mi basta altro.

Per la precisione, i valori assoluti degli autovalori sono $0<=|lambda|<=1$. Questo vale per tutte le matrici di transizione.
Nel particolare, tutte le matrici di transizione regolari hanno:
a ) un autospazio di dimensione 1 collegato all'autovalore 1
b ) nessun autovalore pari a -1