Markov aiuto su esercizio.

[Thunderbolt]

Buongiorno a tutti, chiedo un aiuto su questo esercizio se qualcuno saprebbe indicarmi lo svolgimento, grazie.
Mi sto esercitando da poco su questi argomenti ma non ho esercizi di esempio.
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà.

[ghira]

Buongiorno a tutti, chiedo un aiuto su questo esercizio se qualcuno saprebbe indicarmi lo svolgimento, grazie.

Hai provato a fare quello che l'esercizio ti chiede esplicitamente di fare?

[Bokonon]

Ho visto l'altro post e un post precedente in cui il buon @ingres ti ha dato una mano ed ho la netta sensazione che ti stia incasinando fra appunti e conti...e questo esercizio metterebbe a dura prova il metodo che stai usando, tanto che penso che ti devi aspettare al minimo un errore di calcolo.
Se vorrai seguire il mio consiglio, ridurrai al minimo i conti e i passaggi.
La matrice di transizione associata è: $ P=( ( 0 , 0 , 0 , 0 , 1/2 ),( 1/2 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 1/2 , 1/2 , 0 , 1/2 , 1/2 ),( 0 , 1/2 , 1/2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1/2 , 1/2 , 0 ) ) $
Noterai che le colonne sommano ad 1, questo perchè gli statistici amano lavorare per righe e andranno tutti all'inferno per questo. Lavora anche tu per colonne e risparmiati tutte quelle trasposizioni.

Ora, per trovare gli autovalori di una matrice si risolve $det(P-lambdaI)=0$ ma noi già sappiamo che se esistono uno o più stati stazionari, allora sono tutti appartenenti al sottospazio legato a $lambda=1$
Pertanto andiamo dritti alla matrice $ P=( ( -1 , 0 , 0 , 0 , 1/2 ),( 1/2 , -1 , 0 , 0 , 0 ),( 1/2 , 1/2 , -1 , 1/2 , 1/2 ),( 0 , 1/2 , 1/2 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1/2 , 1/2 , -1 ) ) $ e se è singolare allora esiste almeno uno stato stazionario (e sappiamo che ne esiste almeno uno... sempre).
Nota bene che non ho fatto $I-P$ perchè è assurdo dover calcolare la nuova diagonale E cambiare segno a tutto il resto quando NON è necessario (aumentando la chance di commettere errori).

Adesso dobbiamo risolvere il sistema omogeneo $( ( -1 , 0 , 0 , 0 , 1/2 ),( 1/2 , -1 , 0 , 0 , 0 ),( 1/2 , 1/2 , -1 , 1/2 , 1/2 ),( 0 , 1/2 , 1/2 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1/2 , 1/2 , -1 ) ) ( ( x ),( y ),( t ),( w ),( z ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
ma col cavolo che andiamo a scriverlo, quando possiamo usare le mosse di Gauss!
Per prima cosa però ci semplifichiamo ancora la vita e moltiplichiamo $2*P$ ottenendo $ 2*P=( ( -2 , 0 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , -2 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , -2 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , -2 ) ) $. E' molto meglio lavorare con numeri interi no? Anche questo aiuta a ridurre e di molto gli errori di calcolo.

Dopo tre passaggi con Gauss sono arrivato a $( ( 2 , 0 , 0 , 0 , -1 ),( 0 , 4 , 0 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 8 , -4 , -7 ),( 0 , 0 , 0 , 4 , -3 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
L'ultima riga nulla è rincuorante. Adesso sappiamo che il kernel di questa matrice ha dimensione 1, quindi esiste un autovettore/stato stazionario (e non ci deve stupire la cosa). Risolvere il sistema omogeneo partendo da questa matrice a scalini è una baggianata e (ponendo z=1) si ottiene $ ( 1/2 \ \ 1/4 \ \ 5/4 \ \ 3/4 \ \ 1 ) $. Questo è solo uno dei possibili autovettori, ma a noi interessa quello normalizzato a somma 1: pertanto lo moltiplichiamo per 4 e poi dividiamo ogni componente per la somma delle componenti ottenendo $ ( 2/15 \ \ 1/15 \ \ 1/3 \ \ 1/5 \ \ 4/15 ) $. Questo è lo stato stazionario nel lungo periodo. 1/3 delle volte si finisce in prigione

Per rispondere all'ultima domanda calcoliamo i valori attesi moltiplicando i pedaggi per le probabilità.
$2/15*105=14$ $1/15*240=16$ $1/5*90=18$ e infine $4/15*75=20$.
Pertanto Viale Vesuvio è la proprietà da acquistare.

[Thunderbolt]

Grazie mille, ho trovato la spiegazione molto chiara e sicuramente più rapida del sistema. Ho solo un dubbio sulla parte "è solo uno dei possibili autovettori, ma a noi interessa quello normalizzato a somma 1: pertanto lo moltiplichiamo per 4 e poi dividiamo ogni componente per la somma delle componenti", divido per 4 per togliere la frazione giusto? cioè non che sia una qualche regola dividere per 4?
Grazie ancora, e mi scuso per le varie domande ma purtroppo non ci hanno fornito dei libri di riferimento, solo alcune slides su cui c'è scritto poco e niente, con nessun esempio, per cui sono i primi esercizi a cui mi sto interfacciando.

[Bokonon]

Ho solo un dubbio sulla parte "è solo uno dei possibili autovettori, ma a noi interessa quello normalizzato a somma 1: pertanto lo moltiplichiamo per 4 e poi dividiamo ogni componente per la somma delle componenti", divido per 4 per togliere la frazione giusto? cioè non che sia una qualche regola dividere per 4?

Esatto. Ma capisco di aver esagerato con i passaggi banali tanto da dare l'impressione che ci sia un mistero dietro
Sostanzialmente, con le mosse di Gauss moltiplichiamo/dividiamo e sommiamo/sottraiamo le righe: nel far ciò cambiamo la scala...ma a noi frega poco se ci semplifica i conti. Non siamo PC.
Tanto, quando di tratta di un sistema omogeneo, ci basta trovare un vettore $vec(v)$ qualsiasi che soddisfi il sistema.
Questo perchè tutti i vettori contenuti nel sottospazio vettoriale generato da $kvec(v)$ con k reale (che, nel nostro caso, è l'autospazio legato all'autovalore 1) sono tutte soluzioni del sistema...ergo va bene una a piacere. Però, poichè a rigore avremmo dovuto ottenere l'autovettore dello stato stazionario, alla fine dei giochi scegliamo un valore di k tale che $vec(v)^T1_n=1$ dove $1_n$ è un vettore le cui componenti sono tutte pari ad 1.

Riassumendo, invece di seguire pedissequamente le formule/algoritmi come fossimo un PC, capiamo cosa stiamo facendo e ci semplifichiamo la vita.

P.S. Quasi scordavo...come dice @ghira, è buona cosa controllare di aver fatto bene i conti facendo $Pv$. Se il prodotto restituisce $v$ allora è ok. Altro dettaglio banale, se per caso alcune componenti dell'autovettore sono negative, allora già sappiamo di aver sbagliato i conti
Se invece sono tutte negative, allora è ok perchè anche il vettore nella direzione inversa è un autovettore: possiamo renderle positive con un k adeguato.

[Thunderbolt]

Buonasera, grazie infinite per la spiegazione, ma ci sto ancora sbattendo la testa. Oggi sono stato a ricevimento proprio per chiedere di un esercizio di markov ed il calcolo della probabilità asintotica. Anche lui mi ha detto di fare la trasposta e successivamente moltiplicare per il vettore π e mettere poi a sistema con la somma dei π = 1. Inutile dire che è stato teorico nonostante gli abbia mostrato l'esercizio, per cui i dubbi non è che si siano risolti essendo tornato con le solite formule che già conoscevo nella teoria. Allego una foto dell'esercizio, della matrice che ho calcolato (di cui non sono certo) considerando stato 1: nessuna macchina carica, stato 2: una sola carica, stato 3: entrambe cariche, ed il sistema di formule dato dal professore. I miei dubbi sono: perchè lui non mi ha detto di fare (I-P)? Se faccio il sistema nel modo che mi ha detto lui non mi trovo 4 equazioni e 3 incognite? Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolverlo, grazie in anticipo.

[ghira]

La tua matrice non mi convince.

[ghira]

considerando stato 1: nessuna macchina carica, stato 2: una sola carica, stato 3: entrambe cariche,

Gli stati sono 0, 1, 2. Lo dice l'esercizio.

[Thunderbolt]

E quindi? Sinceramente poco cambia, anche il professore ha usato stato 1, 2 e 3 basta indicare a cosa corrisponde. Come dovrebbe essere la matrice?

[ghira]

Come dovrebbe essere la matrice?

Dagli stati 0 e 1 dove vai?