Siano A,B e C eventi di uno spazio di probabilità S. Si dimostrino le seguenti implicazioni:
a. $A sub B => P{A|C} <= P{B|C} $
b. A e B sono eventi indipendenti $ => bar(A) e bar(B) $ sono eventi indipendenti
Si dimostri, ponendo $ C = Auu B $, che non vale la seguente implicazione
c. $ P{Ann B} = P{A}*P{B} => P{Ann B|C} = P{A|C}*P{B|C} $
Quesito a
Sapendo che
$ B=(B∩A)∪(B∩A^c)=A∪(B∩A^c). $
Allora si avrà
$ P(B)=P(A∪(B∩A^c))=P(A)+P(B∩A^c)−P(A∩(B∩A^c))=P(A)+P(B∩A^c)−P(∅)=P(A)+P(B∩A^c)−0=P(A)+P(B∩A^c). $
Quesito b
Due eventi si dicono indipendenti se
$ P(A|B) = P(A) <=> P(A ∩ B) = P(A)*P(B) <=> P(B|A) = P(B) $
Si ha
$ A=(A\cap B)\cup (A\cap B) $
da cui
$ P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B) $
dove
$ P(A\cap B) = P(A)*P(B) $
Quesito c
$ P{Ann B} = P{A}*P{B} => P{Ann B|C} = P{A|C}*P{B|C} $
Sapendo che $ C = Auu B $
allora
$ P{Ann B| Auu B} = P{A| Auu B}*P{B| Auu B} $
