Legame tra stazionarietà in senso stretto e in senso lato di processi aleatori

[CosenTheta]

Salve, sto studiando il concetto di stazionarietà in senso stretto e in senso lato di processi aleatori.
In particolare, le mie dispense dicono che la stazionarietà in senso stretto implica quella in senso lato.
La dimostrazione che riporta è la seguente.

La autocorrelazione statistica, secondo definizione, è pari a

\(\displaystyle E[x(t)x(t-\tau)] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} w_1w_2f_x(w_1,w_2;t,t-\tau) dw_1 dw_2\)

Stazionarietà in senso lato vuol dire che la autocorrelazione dipende da $\tau$ ma non da $t$.
Stazionarietà in senso stretto vuol dire che la $f_x$ dipende da $\tau$ ma non da $t$.
Dunque, supponendo di trovarci in tale ipotesi, dopo l'operazione di integrazione che porta via $w_1$ e $w_2$, esce fuori un risultato che dipende solo da $\tau$. Quindi, la autocorrelazione dipende solo da $\tau$, giungendo così alla tesi.

Ciò che non comprendo è per quale motivo non sia valido l'inverso, ossia che la stazionarietà in senso lato implichi quella in senso stretto.
Le mie dispense dicono che siccome l’indipendenza da t del primo membro non implica l’indipendenza
da t della funzione integranda al secondo membro, l’implicazione inversa non è valida.

Non riesco a capire per quale motivo l'indipendenza del primo membro da $t$ non implica l'indipendenza di $f_x$ nel secondo membro.
Il mio ragionamento è questo (che poi sono i passi invertiti della dimostrazione di prima): se il primo membro dipende solo da $\tau$ vuol dire che, per l'uguaglianza, anche il secondo membro dipende solo da $\tau$. Quindi, se l'operazione di integrazione porta via $w_1$ e $w_2$, affinché il risultato dipenda solo da $\tau$ deve necessariamente risultare che $f_x$ non dipenda da $t$, ma solo da $\tau$.

Perchè questo ragionamento è sbagliato?
Grazie.

[Mephlip]

Perchè questo ragionamento è sbagliato?
Grazie.

Ciao, prendi quello che dico con il giusto scetticismo perché ti rispondo da un punto di vista puramente matematico e so ben poco di statistica.

Il fatto, secondo me, è il seguente: se assumi il membro di sinistra indipendente da $t$, è vero che per uguaglianza il membro di destra è anch'esso indipendente da $t$. Ma il membro di destra è il risultato dell'integrazione, invece l'implicazione (falsa) vorrebbe l'indipendenza da $t$ della funzione integranda (o parte della funzione integranda, la $f_x$). È ben diverso. Esempio più semplice: la funzione $1/x^2$ per $x \ne 0$ è indipendente da $t$, tuttavia risulta $1/x^2=\int_0^{+\infty} e^{-x^2t}\text{d}t$ con l'integranda $e^{-x^2t}$ dipendente da $t$. Ora, non ci ho impiegato tempo nel cercare un esempio più simile al tuo (integrale doppio su $\mathbb{R}^2$ con quell'impostazione precisa della funzione integranda), ma credo che di base il motivo sia questo che ti ho riportato.

Insomma, secondo me l'errore nello specifico è qui:

affinché il risultato dipenda solo da $\tau$ deve necessariamente risultare che $f_x$ non dipenda da $t$, ma solo da $\tau$.

Non è necessario, come mostra il controesempio che ti ho riportato. Credo che tu abbia mischiato i due concetti di "indipendenza del membro di destra da $t$" con "indipendenza dell'integranda da $t$".

[CosenTheta]

Ciao, grazie della risposta. Sì, effettivamente la mia domanda può essere considerata da un punto di vista puramente matematico, dunque avrei potuto anche postarla in Analisi Matematica riscrivendola in maniera generale.

Ad ogni modo, vorrei soffermarmi su una differenza tra il tuo esempio e la formula che ho riportato io.

Nell'uguaglianza

$ 1/x^2=\int_0^{+\infty} e^{-x^2t}\text{d}t $

ti sei messo nelle condizioni in cui il membro di sinistra non dipende da $t$, mentre la funzione integranda ne dipende; tuttavia, tu riesci ad ottenere un risultato a valle dell'integrazione indipendente da $t$ (rendendo coerente l'uguaglianza tra primo e secondo membro) perchè nel tuo caso integri rispetto a $t$, cioè alla variabile che non vuoi nel risultato.

Volendo mettermi nelle tue stesse condizioni con la mia formula

\( \displaystyle E[x(t)x(t-\tau)] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} w_1w_2f_x(w_1,w_2;t,t-\tau) dw_1 dw_2 \)

cioè che $E[x(t)x(t-\tau)]$ sia indipendente da $t$ a differenza di $f_x$, dopo aver svolto l'integrale che non coinvolge $t$ e $\tau$, ma solo $w_1$ e $w_2$, a quel punto io mi ritroverei con un risultato dipendente giocoforza da tutto ciò che "sopravvive" all'operazione di integrazione, cioè $t$ e $\tau$.

Non so se questa mia "obiezione" sia o meno coerente.

[Mephlip]

Prego! Sì, l'obiezione ha senso, ho fatto un po' di casino con le variabili. Ma possiamo facilmente riadattare il controesempio. Sappiamo che:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2}\text{d}u=\sqrt{\pi}$$
Consideriamo per ogni $y\in\mathbb{R}$ l'integrale:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x+y)^2}\text{d}x$$
Ponendo $u=x+y$, dato che derivando rispetto a $x$ è $\text{d}u=\text{d}x$ e l'intervallo di integrazione rimane $]-\infty,+\infty[$ ti riconduci a quello precedente e perciò anch'esso vale $\sqrt{\pi}$. Quindi, hai:
$$\sqrt{\pi}=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x+y)^2}\text{d}x$$
Perciò, essendo costante, il membro di sinistra è indipendente da $y$ (e stavolta non in maniera ovvia, perché non sto integrando in $\text{d}y$) mentre l'integranda $e^{-(x+y)^2}$ dipende da $y$.

Non è un integrale doppio come il tuo, ma credo che questa volta sia proprio la stessa situazione ma semplificata in termini di integrali.

[CosenTheta]

Grazie.