Esercizio di probabilità

[Geeannee]

Buonasera a tutti, avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio:

Un giocatore d'azzardo propone ad uno studente universitario la seguente scommessa. Lo studente lancia un dado e guadagna 30€ ogni lancio fino a quando non ottiene 6. Quando esce 6 ll studente deve restituire 100€ al giocatore d'azzardo. Lo studente decide di accettare solo se la probabilità di non perdere è maggiore del 60%. Mostrare il procedimento e i calcoli per verificare se lo studente accetta la scommessa o no.

Io ho ragionato così: lo studente per andare in positivo deve ottenere almeno 4 lanci consecutivi con un risultato diverso da 6, in modo da totalizzare minimo 120€ e stare al di sopra dei 100€ che dovrà restituire quando gli esce 6. La probabilità di ottenere un numero diverso da 6 è 5/6. Dunque P(Vincita)=5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 625/1296 = 0.48 circa il 48%. Dunque lo studente rifiuta. Secondo voi è corretto o ho sbagliato qualcosa?

[sellacollesella]

È corretto.

Trovo sempre molto interessante simulare il gioco qualche milione di volte:

Codice:

np = 10^8;

nv = ParallelTable[t = 0;
                   d = RandomInteger[{1, 6}];
                   While[d < 6,
                         t = t + 30;
                         d = RandomInteger[{1, 6}]
                        ];
                   If[t < 100, 0, 1],
                  {n, np}];

100. Total[nv]/np

(*48.2251*)

da cui non si otterrà certo la probabilità esatta, ma qualcosa di molto vicino.

[ghira]

È corretto.

Trovo sempre molto interessante simulare il gioco qualche milione di volte:

Io lo faccio spesso, in particolare quando non riesco a risolvere un problema in altri modi ma anche quando
non sono molto sicuro dei miei risultati. Sono d'accordo che è molto utile.

[Bokonon]

Dunque P(Vincita)=5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 625/1296 = 0.48 circa il 48%. Secondo voi è corretto o ho sbagliato qualcosa?

Non capisco perchè lo studente non vinca anche dopo $(5/6)^n$ successi con $n>3$. Non contiamo questi scenari? Il ragionamento è sbagliato e pure il risultato.

Lo studente deve valutare tutti i possibili scenari, ovvero le possibili sequenze che conducono ad un arresto.
Il gioco può potenzialmente andare avanti all'infinito.
Se associamo all'evento/sequenza n-successi + STOP la prob. $(5/6)^n*1/6$, abbiamo che la somma è data da $1/6sum_(n=0)^(oo) (5/6)^n=1/6*6=1$
Ora che abbiamo provato che la somma di tutti i possibili eventi è pari a 1, sappiamo che la prob. di perdere è $1/6sum_(n=0)^3 (5/6)^n$

Quindi la prob. di vincere è data $1-1/6[1+5/6+(5/6)^2+(5/6)^3]=671/1296$ e non $625/1296$

[sellacollesella]

Ad ogni lancio la probabilità di continuare il gioco è pari a \(\frac{5}{6}\) e per non rimanere al verde necessitiamo che ciò avvenga almeno per quattro lanci consecutivi, ossia di probabilità pari a \(\left(\frac{5}{6}\right)^4\). Ciò vuol dire che se ripetiamo tale gioco un'infinità di volte, ci si aspetta che solamente nel \(48\%\) delle volte andrà a buon fine, mentre nel \(52\%\) delle volte ci si rimetterà dei soldi.

Naturalmente, ciò non esclude che vi siano alcune giocate fortunate. Ad esempio, nella simulazione di cui sopra, su \(10^8\) giocate nella più fortunata il \(6\) è uscito dopo ben \(3000\) lanci, con un ricavo di ben \(90\,000\) euro! È chiaro che in quel caso dei \(100\) euro che dovrò restituire me ne faccio un baffo, però negli altri casi...

In ogni modo, se ricontrolli i tuoi calcoli otterrai le stesse probabilità:

La prob. di perdere è $1/6sum_(n=0)^3 (5/6)^n$.

Sì, quel conto porta a \(\frac{671}{1296}\), ossia circa \(52\%\).

La prob. di vincere è $1-1/6[1+5/6+(5/6)^2+(5/6)^3]$.

Sì, quel conto porta a \(\frac{625}{1296}\), ossia circa \(48\%\).