Ho visto ora questo thread e mi inserisco per dare un contributo forse inutile. Non sono un probabilista e dunque mi sono riguardato le definizioni...
Se ho capito date \(\displaystyle X_1,\dots,X_n \) variabili aleatorie di definisce la matrice di covarianza come la matrice \(\displaystyle Q \) le cui componenti sono date da:
\(\displaystyle \sigma_{i,j}:=\mathrm{cov}(X_i,X_j) \)
Si vede dalla definzione che \(\displaystyle Q \) è simmetrica. Per vedere che è semidefinita positiva si prende un vettore
\(\displaystyle \xi \) di componenti \(\displaystyle \xi_1,\dots,\xi_n \) e si calcola \(\displaystyle \xi^tQ\xi \). Usando le proprietà di varianza e covarianza si ha:
\(\displaystyle \xi^TQ\xi=\sum_{i,j}\mathrm{cov}(X_i,X_j)\xi_i\xi_j=\sum_{i,j}\mathrm{cov}(\xi_iX_i,\xi_jX_j)=\mathrm{cov}\left(\sum_i\xi_iX_i,\sum_j\xi_jX_j\right)=\mathrm{var}\left(\sum_i\xi_iX_i\right)\geq0.\)
Dinque \(\displaystyle Q\geq0 \). Mi sembra peraltro chiaro che \(\displaystyle Q \) non è per forza definita positiva in casi molto semplici (e cioè quando le $X_i$ sono tra loro linearmente dipendenti).
Se per esempio ho \(\displaystyle n=2 \) e \(\displaystyle X_1=X_2 =X\), qualsiasi sia $X$, allora prendendo $\xi_1=1$ e $\xi_2=-1$ viene $\xi_1X_1+xi_2X_2=X-X=0$, dunque $\xi^TQ\xi=0$. Che poi se $X_1=X_2=X$ si vede subito che tutte le quattro componenti di $Q$ coincidono tra loro (con la varianza di $X$), dunque $\det(Q)=0$ e $Q$ ha nucleo.
Lascio a voi la discussione sull significato
You are in a comfortable tunnel like hall.
To the east there is a round green door.
>OPEN DOOR
>GO EAST
静かに時の傷に苦しむ
群れを組んでわ飛ばない鷹