distribuzione di Bernoulli

[GuidoFretti]

Siano $X_1,...,X_n$ $n$ variabili aleatorie iid aventi legge di Bernoulli di parametro $1/2$

sia $S_n:= X_1+...+X_n$

Qualcuno mi spiega come posso dimostrare che $n-S_n$ e $S_n$ sono uguali in legge?

Grazie

[ghira]

Quanto fa $1-1/2$?

[GuidoFretti]

ok si fa $1/2$ ma non riesco a capire il ragionamento.

seguendo le definizioni di convergenza in distribuzione non dovrei dimostrare che la funzioni di ripartizione di $n-S_n$ converge per $n->+infty$ alla funzione di ripartizione di $S_n$?

Tuttavia ora non so come esprimere queste due quantità per far vedere che sono le medesime

$P(n-S_n<=x)$
$P(S_n<=x)$

Magari mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua

[ghira]

Magari è più semplice farlo con la funzione di massa di probabilità?

[GuidoFretti]

perdonami, ma non riesco a capire il tuo ragionamento (corretto eh!).

Potresti aiutarmi con qualche dettaglio in più?

dalle sole definzioni non sto giungendo a nulla.

Grazie

[ghira]

Tanto per essere sicuri: il risultato è palesemente vero ed è solo la parte formale che ti preoccupa?

Quant'è $P(S_n=k)$? $P(S_n=n-k)$? $P(n-S_n=k)$? $P(n-S_n=n-k)$?

[GuidoFretti]

Sinceramente non mi è immediato nemmeno il risultato in sé, ma vorrei capirlo perché probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.

Rispondendo alla tua domanda:
$P(S_n=k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1-1/2)^(n-k)$

$P(S_n=n-k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1/2)^(n-k)$

$P(n-S_n=k)=P(S_n=n-k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1/2)^(n-k)$

$P(n-S_n=n-k)=P(S_n=k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1/2)^(n-k)$

Dunque si ha che le due probabilità considerate sono uguali al variare di $k$ generico e quindi sostanzialmente ho verificato la definizione di convergenza in distribuzione perché ho fatto vedere che per ogni $k$ vale l'uguaglianza dell'espressione della probabilità di $S_n$ e $n-S_n$ giusto?

Ho solo il dubbio del perché qui basta dimostrare che vale l'uguale per assicurare anche che vale il $<=$ come dice la definizione.

[ghira]

Ho solo il dubbio del perché qui basta dimostrare che vale l'uguale per assicurare anche che vale il $<=$ come dice la definizione.

Mi limito a dire "Su!".

[ghira]

non dovrei dimostrare che la funzioni di ripartizione di $n-S_n$ converge per $n->+infty$ alla funzione di ripartizione di $S_n$?

converge? $n->+infty$? no! Che dici???

[GuidoFretti]

Ho solo il dubbio del perché qui basta dimostrare che vale l'uguale per assicurare anche che vale il $<=$ come dice la definizione.

Mi limito a dire "Su!".

se l'uguaglianza vale per ogni $k$ varrà anche per $<=$...
no?