Legendre transform

[ghira]

Cosa intendi scusa con quale valore di $t$ esce se $z=10$ e $p=0,5$?

La formula che hai trovato per il valore di $t$ dove la derivata (rispetto a $t$) di $tz-log(1-p+pe^t)$ è 0.

$t=log((z(1-p))/(p(1-z)))$

Quando $z$ è 10 o -10, cosa succede? Se vuoi usare un valore specifico di $p$ va bene $0,5$. Siamo molto concreti. Se $p$ ha altri valori fra 0 e 1 (ma non esattamente 0 o 1) cambia qualcosa?

[ghira]

Trovare quel valore esplicito di $t$ a cosa mi è servito?

Trovare un punto stazionario di $tz-log(1-p+pe^t)$ nella speranza che sia un massimo locale e non un minimo locale o un punto di flesso, e che sia anche un massimo globale.

Ma ci potrebbe non essere un tale punto. Ti ho chiesto varie volte cosa succede quando $z=10$ o $z=-10$. Magari l'ho fatto per un motivo e non sono solo capriccioso e arbitrario.

[GuidoFretti]

Trovare quel valore esplicito di $t$ a cosa mi è servito?

Trovare un punto stazionario di $tz-log(1-p+pe^t)$ nella speranza che sia un massimo locale e non un minimo locale o un punto di flesso, e che sia anche un massimo globale.

Ma ci potrebbe non essere un tale punto. Ti ho chiesto varie volte cosa succede quando $z=10$ o $z=-10$. Magari l'ho fatto per un motivo e non sono solo capriccioso e arbitrario.

Hai ragione, ma ieri non potevo fare i conti e non ho risposto.

Se fisso $z=10$ e $p=1/2$ (in realtà però tale ragionamento vale indipendente da $p$)allora ottengo $10t-log(1/2+1/2e^t)$ e $t=log(-10/9)$ che è impossibile.

In particolare osservo che $(1-p)$ con la condizione su $p$ è sempre positivo, e quindi se $z>=1$ allora il punto stazionario non esiste e $Sup=+infty$ perché la funzione a $+infty$ vale $+infty$

Se $z<0$ ancora l'argomento del logaritmo è negativo e quindi il $Sup=+infty$ perché per $t$ che tende a $-infty$ la funzione tende a $+infty$.

Se $z=0$ allora il $Sup=+infty$

Infine se $ 0<z<1$ il punto stazionario esiste ed è un massimo locale, tuttavia io calcolo il $ Sup$ su $t in RR$ e quindi anche qui il $Sup=+infty$.


Spero di non aver fatto confusione...torna qualcosa di questo ragionamento?

Grazie

[ghira]

[
Infine se $ 0<z<1$ il punto stazionario esiste ed è un massimo locale, tuttavia io calcolo il $ Sup$ su $t in RR$ e quindi anche qui il $Sup=+infty$

Cosa? Perché?

[GuidoFretti]

vado con ordine...la parte prima torna anche a te?

Sia $p in (0,1)$ e $0<z<1$ , quindi ho la funzione:

$zt-log(1-p+pe^t)$; facendo la derivata trovo che un punto stazionario è

$t=(z(1-p))/(p(1-z))$
In particolare il numeratore è sempre positivo e anche il denominatore, quindi il logaritmo ha senso di esistere.

Ora $lim_(t->+infty) (tz-log(1-p+pe^t))=+infty$ e $lim_(t->-infty) (tz-log(1-p+pe^t))=-infty$

Inoltre la funzione è crescente, quindi quel punto non può essere un minimo o un massimo.

Ciò che mi interessa è che anche in questo caso il $Sup=+infty$.

Dimmi se ho sbagliato qualcosa, grazie

[GuidoFretti]

[
Infine se $ 0<z<1$ il punto stazionario esiste ed è un massimo locale, tuttavia io calcolo il $ Sup$ su $t in RR$ e quindi anche qui il $Sup=+infty$

Cosa? Perché?

Errore mio: se $0<z<1$ il $t$ stazionario che troviamo è una massimo assoluto.

Di conseguenza in quel caso $l(z)$ ha un'espressione ben definita e che si ottiene sostituendo alla $t$ dell'espressione di $l(z)$ il corrispondente valore in funzione di $z$ e $p$

[ghira]

Di conseguenza in quel caso $l(z)$ ha un'espressione ben definita e che si ottiene sostituendo alla $t$ dell'espressione di $l(z)$ il corrispondente valore in funzione di $z$ e $p$

D'accordo.

[GuidoFretti]

Di conseguenza in quel caso $l(z)$ ha un'espressione ben definita e che si ottiene sostituendo alla $t$ dell'espressione di $l(z)$ il corrispondente valore in funzione di $z$ e $p$

D'accordo.

Finalmente ci sono arrivato alla soluzione!

Grazie mille davvero per il tuo aiuto e la tua pazienza!

[ghira]

Finalmente ci sono arrivato alla soluzione!

Grazie mille davvero per il tuo aiuto e la tua pazienza!

Questo esercizio mi sembra molto più difficile dell'altro.