Legendre transform

[ghira]

Mi confermi che

$l(z)=t*log((z(1-p))/(p(1-z)))-log(1-p+(z(1-p))/(p(1-z)))$

$t$ non può esserci. $l(z)$ è una funzione di $z$. Calcoli un sup su $t$, ma nel risultato $t$ non deve apparire. $p$ va bene.

Rimpiazza $t$ all'inizio col valore che hai trovato prima.

[GuidoFretti]

Ma perché osservando la funzione è chiaro che non possa avere un minimo e quella $t$ trovata è proprio il $max$ e corrisponde al $Sup$?

Credo che per molti valori di $z$ il Sup è infinito.

Ma allora come cavolo la definisco questa maledetta $l(z)$.

Cioè devo distinguere i vari casi in base a $z$?

Il $Sup$ non lo facevo sulla $t$ però?

Non sto più capendo come ragionare.

Cioè quel punto che ho trovato all fine è una massimo? Perché?

E $l(z)$ cosa vale alla fine?

[GuidoFretti]

Mi confermi che

$l(z)=t*log((z(1-p))/(p(1-z)))-log(1-p+(z(1-p))/(p(1-z)))$

$t$ non può esserci. $l(z)$ è una funzione di $z$. Calcoli un sup su $t$, ma nel risultato $t$ non deve apparire. $p$ va bene.

Rimpiazza $t$ all'inizio col valore che hai trovato prima.

Si hai ragione perfettamente!

Grazie

[ghira]

Cioè devo distinguere i vari casi in base a $z$?

Almeno potenzialmente, si.

Il $Sup$ non lo facevo sulla $t$ però?

Sì.

[GuidoFretti]

Cioè devo distinguere i vari casi in base a $z$?

Almeno potenzialmente, si.

Il $Sup$ non lo facevo sulla $t$ però?

Sì.

Allora non sto capendo perdonami.

Trovare quel valore esplicito di $t$ a cosa mi è servito?

E adesso come devo ragionare per distinguere quelle $z$.

Parto dall'espressione base di $l(z)$ con ancora il $Sup,$ su $t$?

[ghira]

E adesso come devo ragionare per distinguere quelle $z$.

La tua formula per $t$ cosa dice per, per esempio, $z=10$ e $z=-10$? Hai provato a disegnare i grafici della funzione (quella di cui devi trovare il sup) per $z=10$ e $z=-10$?

[GuidoFretti]

E adesso come devo ragionare per distinguere quelle $z$.

La tua formula per $t$ cosa dice per, per esempio, $z=10$ e $z=-10$? Hai provato a disegnare i grafici della funzione (quella di cui devi trovare il sup) per $z=10$ e $z=-10$?

Mi sono perso perdonami: chiaramente tu fissi $z$ e ragioni al variare di $t$ per calcolare il $Sup$ della funzione?

Allora non ho capito a cosa serviva trovare il valore di $t$ ottenuto ponendo la derivata rispetto a $t$ uguale a zero.

Infine il disegno dei grafici non è mi risulta così semplice: devo fissare $z$ e $p$ e ragionare solo su $t$ al suo variare?

[ghira]

Infine il disegno dei grafici non è mi risulta così semplice: devo fissare $z$ e $p$ e ragionare solo su $t$ al suo variare?

$p$ non cambia. E mentre calcoli $l(z)$ per un particolare valore di $z$, $z$ non cambia. Quindi, sì, disegna i grafici per $z=10$ e $z=-10$. Magari con $p=0,5$ tanto per cominciare.

E che valore di $t$ esce dalla tua formula se $z$ è 10 o -10?

[GuidoFretti]

Cosa intendi scusa con quale valore di $t$ esce se $z=10$ e $p=0,5$?

Cioè fissare quei due valori e calcolare la derivata rispetto a $t$ della funzione ottenuta con quei valori?

[GuidoFretti]

Ma perdonami in tutto questo non riesco a capire il ragionamento che mi avevi suggerito prima e che ha portato ad ottenere la $t=log(...)$.

A che serviva?