Legendre transform

[GuidoFretti]

Ho questo esercizio che non so minimamente come iniziare perché a lezione abbiamo solo visto teoria, senza mai guardare un esempio pratico.
Qualcuno mi può indirizzare su almeno quali conti devo fare per risolverlo?
Dalla sole parti teoriche brancolo nel buio e non so come uscirne.

Trovare la trasformazione di Legendre della log Moment generating function per $X_1~Be(p)$ dove $p in (0,1)$

Grazie

[ghira]

Come sono definite queste cose?

Se usi le definizioni, cosa succede?

[GuidoFretti]

La funzione generatrice di momenti
$f(t)=1-p + pe^t$

Per definizione il log moment è $h(t)=log(f(t))$
E quindi nel mio caso avrei:
$h(t)=log(1-p+e^(t))$.
Già qui non vedo come esprimere in maniera più semplice $h(t)$.

La Legendre transformation è per def:
$l(z)=Sup(t in RR)(tz-h(t))$

E quindi avrei:
$l(z)=Sup(t in RR)(tz-log(1-p+e^(t)))$

Ma ora non so più come andare avanti e come calcolare questo sup al variare di $t$.

Grazie

[ghira]

$l(z)=Sup(t in RR)(tz-log(1-p+e^(t)))$

Ma ora non so più come andare avanti e come calcolare questo sup al variare di $t$.

Calcoli la derivata rispetto a $t$ e la metti uguale a 0? Se la derivata non è mai 0 devi trovare il sup in un altro modo. Potrebbe essere infinito o magari i valori possibili sono limitati e quindi il sup è comunque finito. Non ho provato a calcolare nulla.

[Mephlip]

La funzione generatrice di momenti
$f(t)=1-p + pe^t$

Per definizione il log moment è $h(t)=log(f(t))$
E quindi nel mio caso avrei:
$h(t)=log(1-p+e^(t))$.

Occhio che, se è giusta la funzione generatrice da te scritta, è $h(t)=\log(1-p+pe^t)$; ti sei perso una $p$ che moltiplica $e^t$.

[ghira]

Occhio che, se è giusta la funzione generatrice da te scritta, è $h(t)=\log(1-p+pe^t)$; ti sei perso una $p$ che moltiplica $e^t$.

Adesso non devo dirlo io! Grazie.

[GuidoFretti]

La funzione generatrice di momenti
$f(t)=1-p + pe^t$

Per definizione il log moment è $h(t)=log(f(t))$
E quindi nel mio caso avrei:
$h(t)=log(1-p+e^(t))$.

Occhio che, se è giusta la funzione generatrice da te scritta, è $h(t)=\log(1-p+pe^t)$; ti sei perso una $p$ che moltiplica $e^t$.

Grazie si, hai ragione...nel battere mi sono perso una $p*$

[GuidoFretti]

$l(z)=Sup(t in RR)(tz-log(1-p+e^(t)))$

Ma ora non so più come andare avanti e come calcolare questo sup al variare di $t$.

Calcoli la derivata rispetto a $t$ e la metti uguale a 0? Se la derivata non è mai 0 devi trovare il sup in un altro modo. Potrebbe essere infinito o magari i valori possibili di $l$ sono limitati e quindi il sup è comunque finito. Non ho provato a calcolare nulla.

Sinceramente non ho capito.
Quindi calcolo la derivata di $l(t)$ e vedo se è zero, come un normale studio di funzione.
Fin qui ok, ma poi il $Sup$ chi mi assicura che sia qual punto per cui $l'(t)=0$?

Ma se cosi non fosse, non ho capito come debba ragionare per trovare questo quanto vale effettivamente $l(t)$

[ghira]

Sinceramente non ho capito.
Quindi calcolo la derivata di $l(t)$ e vedo se è zero, come un normale studio di funzione.

No. $l$ è una funzione di $z$. È definita come il sup su tutti i valori reali di $t$ di una qualche espressione.

Non dicono "max" perché ci potrebbe non essere un massimo. E certo, quello che trovi derivando rispetto a $t$ e mettendo a 0 potrebbe essere un minimo. E magari il sup non è un massimo locale. In generale, sembra un bel casino.

Non conoscevo la trasformata di Legendre prima di.. ieri? Quindi ne sai quanto me. Abbiamo una definizione. Usiamola!

[ghira]

Fin qui ok, ma poi il $Sup$ chi mi assicura che sia qual punto per cui $l'(t)=0$?

Ma se cosi non fosse, non ho capito come debba ragionare per trovare questo quanto vale effettivamente $l(t)$

Non avrei dovuto dire "valori di $l$". Ho modificato il mio messaggio.