Probabilità di una funzione indicatrice

[Marina_96]

Ciao a tutti, ho dei problemi a capire come calcolare la seguente probabilità:
$$P(1_{[\lambda+\frac{1}{n},1] }<m),$$
non capisco se centri qualcosa la distribuzione uniforme e in caso affermativo il perchè.
Spero possiate darmi una mano, grazie a tutti.

[ghira]

Ciao a tutti, ho dei problemi a capire come calcolare la seguente probabilità:
$$P(1_{[\lambda+\frac{1}{n},1] }<m),$$
non capisco se centri qualcosa la distribuzione uniforme e in caso affermativo il perchè.
Spero possiate darmi una mano, grazie a tutti.

Abbiamo un po' di contesto?

[Marina_96]

Non so se dire il contesto può aiutare, ma comunque lo metto.
Sia $X\in L^\infty$, definiamo $$VaR_\lambda(X)=\inf\{m\in\mathbb{R} : \mathbb{P}(X+m<0)\leq\lambda\}.$$
Devo dimostrare che esiste una successione $X_n\to X$ tale che $VaR_\lambda(X_n)$ non converge a $VaR_\lambda(X)$.
Sul libro viene affermato che basta considerare la successione $$X_n:=1_{[ \lambda+\frac{1}{n},1]}.$$ Il mio problema è che non riesco a calcolare $VaR_\lambda(X_n)$ e $VaR_\lambda(X)$.

[ghira]

Non so se dire il contesto può aiutare, ma comunque lo metto.
Sia $X\in L^\infty$, definiamo $$VaR_\lambda(X)=\inf\{m\in\mathbb{R} : \mathbb{P}(X+m<0)\leq\lambda\}.$$
Devo dimostrare che esiste una successione $X_n\to X$ tale che $VaR_\lambda(X_n)$ non converge a $VaR_\lambda(X)$.
Sul libro viene affermato che basta considerare la successione $$X_n:=1_{[ \lambda+\frac{1}{n},1]}.$$ Il mio problema è che non riesco a calcolare $VaR_\lambda(X_n)$ e $VaR_\lambda(X)$.

Quindi questo $m$ deve essere negativo?

La densità di $X_n$ è $\frac{1}{1-\lambda-\frac{1}{n}}$ su $[ \lambda+\frac{1}{n},1]$?

Se $X+m<0$, $m<=-\lambda-\frac{1}{n}$, no?

$\mathbb{P}(X+m<0)\leq\lambda\$ ci dice qualcosa sul valore di $m$ a questo punto. (Non riesco a far apparire la formula su questa riga. Perché???)

[Marina_96]

Se $X+m<0$, $m<=-\lambda-\frac{1}{n}$, no?

Non riesco a capire cosa intendi con questo.
Mi viene da dire che
$$\mathbb{P}(X+m<0)=\int_\mathbb{R} 1_{[\lambda+\frac{1}{n},1]} 1_{(-\infty,-m)} \frac{1}{1-\lambda-\frac{1}{n}} \, dx=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{-m-\lambda-\frac{1}{n}}{1-\lambda-\frac{1}{n}} &\ \text{ se}\quad -1<m\leq -\lambda-\frac{1}{n}\\
1&\ \text{ se}\quad m\leq -1.
\end{array}\right.$$
Comunque mi sono dimenticata di dire che $\lambda\in(0,1)$ e che dovrebbero venire $VaR_\lambda(X_n)=0$ e $VaR_\lambda(X)=-1$.

[ghira]

Non riesco a capire come arrivi a dire questo.

Forse mi sono sbagliato. In effetti con $m=0$ la probabilità che bla bla <0 che è minore di bla bla.

[ghira]

$$\mathbb{P}(X+m<0)=\int_\mathbb{R} 1_{[\lambda+\frac{1}{n},1]} 1_{(-\infty,-m)} \frac{1}{1-\lambda-\frac{1}{n}} \, dx=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{-m-\lambda-\frac{1}{n}}{1-\lambda-\frac{1}{n}} &\ \text{ se}\quad -1<m\leq -\lambda-\frac{1}{n}\\
1&\ \text{ se}\quad m\leq -1.
\end{array}\right.$$

E adesso vuoi che questa probabilità sia $<=\lambda$, e vuoi l'inf dei valori di $m$ per i quali questo è vero. Hmm.

[Marina_96]

Quindi voglio che $\frac{-m-\lambda-\frac{1}{n}}{1-\lambda-\frac{1}{n}}\leq \lambda$, che accade se $-1<m\leq -\lambda-\frac{1}{n}$. Da cui ne ricavo che $m\geq lambda^2+\lambda(\frac{1}{n}-2)-\frac{1}{n}.$
Il minimo di questa parabola è raggiunto in $\lambda=1-\frac{1}{2n}$ e quindi trovo che $m\geq-1-\frac{1}{4n^2}$ però abbiamo anche la condizione $-1<m\leq -\lambda-\frac{1}{n}$.
A me dunque verrebbe da dire che $VaR_\lambda(X_n)=-1$, come fa a venire 0?
Edit: a dirla tutta $\mathbb{P}(X+m<0)=0\leq\lambda$ se $m> -\lambda-frac{1}{n}$ che è più piccolo di -1, quindi dovendo fare l'inf sui vari valori non verrebbe addirittura $VaR_\lambda(X_n)=-1-frac{1}{n}$!?