Espressione Distribuzione di una somma di variabili aleatorie

[GuidoFretti]

Siano ${X_n}$ una successione di variabili aleatorie, $X_n ~Bin(n,1/2)$.
Sia $S_n=X_1+...+X_n$.

Qualcuno mi spiega come trovare quale sia la distribuzione di ${(S_n)^2 / n^2}$

Grazie

[ghira]

Siano ${X_n}$ una successione di variabili aleatorie, $X_n ~Bin(n,1/2)$.

Stavo per chiedere cosa volesse dire $\in$.

Queste variabili sono indipendenti? Immagino di sì altrimenti dovresti dire di più.

Sia $S_n=X_1+...+X_n$.

$S_n~\text{Bin}(\frac{n(n+1)}{2},\frac{1}{2})$, no?

Qualcuno mi spiega come trovare quale sia la distribuzione di ${(S_n)^2 / n^2}$

Magari adesso che conosci la distribuzione di $S_n$ è più facile.

[GuidoFretti]

Si quello è stato un errore di scrittura e la legge di $S_n$ mi torna perché ho un teorema che afferma questo.

Ma come devo procedere per calcolare quella di ${(S_n)^2/n^2}$ ??

Non ho veramente idea su come procedere.
Grazie

[GuidoFretti]

Perché non ho mai fatto corsi in cui veniva chiesto esplicitamente di calcolare una distribuzione di una certa variabile aleatoria e quindi non so minimamente come procedere step by step per arrivare a calcolare la distribuzione richiesta

[ghira]

Perché non ho mai fatto corsi in cui veniva chiesto esplicitamente di calcolare una distribuzione di una certa variabile aleatoria e quindi non so minimamente come procedere step by step per arrivare a calcolare la distribuzione richiesta

Quali valori può assumere $S_n$? Con quali probabilità?

Quali valori può assumere $\frac{(S_n)^2}{n^2}$? Con quali probabilità?

There may be less to this than meets the eye.

[GuidoFretti]

Sinceramente non so se sto rispondendo correttamente alla tua domanda:

$S_n$ è una somma di variabili aleatorie Binomiali, ma che valori possa assumere non so dirlo: certamente

$P(S_n=k)$ la posso rappresentare perché conosco la legge di $S_n$ (non riesco a scrivere qui il coefficienti binomiale preciso, ma sarà dato dal fattore $n(n+1)/2$ e $p=1/2$)

Ma ora, di nuovo, che valori possa assumere $(S_n)^2/n^2$ non saprei dirlo: mi verrebbe da dire di elevare quelli di $S_n$ al quadrato e poi da valori che assume dividerli per $n^2$ ma veramente non so.

Non ho mai fatto questi argomenti e in questo corso non dovevano rientrare.

Mi interessa cercare di capire l'essenziale per riuscire a proseguire

[GuidoFretti]

Per come è definita la Binomiale direi che $S_n$ può assumere valori intero e $>=0$ di conseguenza anche $(S_n)^2$ prenderà tali valori...

Ma $(S_n)^2/n^2$ non saprei...

Intuitivamente direi che anch'esso seguirà ancora una legge Binomiale ma non so di quali parametri...anzi potrei star sbagliando

[ghira]

$S_n$ è una somma di variabili aleatorie Binomiali, ma che valori possa assumere non so dirlo: certamente

$P(S_n=k)$ la posso rappresentare perché conosco la legge di $S_n$

Conosci la legge di $S_n$ ma non sai quali valori puoi assumere? Conosci anche il nome del mio gatto ma non sai come si chiama, magari?

Riparti da zero. Ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua di nuovo.

[GuidoFretti]

Sarà, ma non ci arrivo!

Come ho scritto sopra, a rigor della mia logica $S_n$ può assumere valori interi $>=0$...
Quindi $S_n in [0,1,2,3....)$

Allo stesso modo $(S_n)^2 in [0,1,2...]$ ...

Ma da questo a capire che legge segue $(S_n)^2/n^2$ e con che parametri io non ci arrivo... altrimenti non avrei chiesto qui...fidati... non mi diverto a fare domande a caso

[ghira]

Sarà, ma non ci arrivo!

Come ho scritto sopra, a rigor della mia logica $S_n$ può assumere valori interi $>=0$...
Quindi $S_n in [0,1,2,3....)$

"..."?

Allo stesso modo $(S_n)^2 in [0,1,2...]$ ...

2?

Ma da questo a capire che legge segue $(S_n)^2/n^2$ e con che parametri io non ci arrivo... altrimenti non avrei chiesto qui...fidati... non mi diverto a fare domande a caso

Parlami di $S_2$ e magari $S_3$. Tutto a mano. Niente procedure, procedimenti, incantesimi. Niente Teorema di Throgmorton. Niente Lemma di Langwiler.