[RISOLTO]Calcolo potenza uscita sistema LTI?

[xh144fata]

Salve, ho dei dubbi sull'esercizio che indicherò qui di seguito.

"Sia $ x(n) $ un processo di Bernoulli ed $ y(n)=x(n) - x(n-2) $ .
1) stabilire se $ y(n) $ è un segnale di energia o di potenza;
2) calcolare la funzione di autocovarianza di $ y(n) $ ;
3) $ y(n) $ viene inviato in ingresso ad un sistema LTI (lineare tempo-invariante) con risposta impulsiva $ h(n)= 10*sinc(10n) $ (seno cardinale). Calcolare la potenza del segnale d'uscita. "

1) Calcolo il valore quadratico medio
$ E{y^2(n)} = 2p - 2p^2 =2p(1-p) $
Quindi la potenza è $ P_x=<E{y^2(n)}> = E{x^2(n)} = 2p(1-p) $ , mentre l'energia è infinita. Possiamo allora affermare che $ y(n) $ è un segnale di potenza.

2) Calcolo la funzione di autocorrelazione
$ c_y(n,m)=E{[y(n)-mu_y(n)]*[y(n-m)-\mu_y(n-m)]} = $ $ E{y(n)*y(n-m)} - E{\mu_y(n)*y(n-m)} $ $ -E{y(n)*\mu_y(n-m)} + E{\mu_y(n)*\mu_y(n-m)} = $ $ r_y(n,m) - \mu_y^2 -\mu_y^2 + \mu_y^2 = r_y(n,m) $ poiché $ \mu_y^2 = 0 $ . Nel calcolo della funzione di autocorrelazione di $ y(n) $ bisogna poi distinguere tre casi, a seconda del valore di m ( $ m=0 , m= +- 2 , m!= +-2 $ ).

3) $ z(n)=y(n)\ast h(n) = sum_(k =-oo\ldots)^(+\infty) h(k)*y(n-k) = $ $ sum_(k =-oo\ldots)^(+\infty) 10sinc(10k)*[x(n-k)-x(n-k-2)] $
La potenza di $ z(n) $ dovrebbe essere calcolabile come $ P_z=<E{z^2(n)}> $ .
Ho che $ E{z^2(n)}=sum_(k=-\infty)^(+\infty) 100*sinc^2(10k)*E{y^2(n)} = $ $ 200p(1-p)*sum_(k=-\infty)^(+\infty) sinc^2(10k) $ .

Arrivato qui non riesco ad andare avanti perché non mi convince il procedimento del punto 3. I primi due punti sono corretti? Come risolvo il punto 3?

[Quinzio]

Per 1 e 2 direi che ci siamo, anche se e' tanto tempo che non faccio di questi esercizi.
Per il 3 no.
Quando un segnale aleatorio passa attraverso un LTI, sul segnale di uscita non si puo dire molto, in particolare sulla sua trasformata di Fourier, che e' quella che interessa.
Pero' tra il segnale di uscita si conserva qualche proprieta' legata all'autocorrelazione del segnale di ingresso. Quindi si puo' conoscere qualcosa del segnale di uscita e questo qualcosa e' l'autocorrelazione.
Dovresti guardare qui per avere un riferimento preciso:
https://engineering.purdue.edu/ChanGrou ... e_A_08.pdf
quando parla di "Power spectral density through LTI systems"
Quella che chiama $S_X(\omega)$ e' lo spettro di potenza e si ottiene con la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione.
In pratica lo spettro di potenza di uscita e' quello di ingresso sono legati dalla trasformata del sistema con la formula che vedi nelle slides.
Se ti chiedi come mai si ottiene lo spettro di potenza in questo modo e' grazie a questo teorema:
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... in%C4%8Din
Lo spettro di potenza e' la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione.

Quindi dovresti:
trovare l'espressione esplicita dell'autocorrelazione dell'ingresso.
farne la t. di Fourier per avere lo spettro di potenza.
usare la formula delle slides per avere lo spettro di uscita.
integrare lo spettro su tutte le frequenze per avere la potenza di uscita.

[xh144fata]

Ciao Quinzio, grazie per aver risposto. Dunque ho che
$ S_z(f)= S_y(f) * |H(f)|^2 $
$ S_y(f)= F{r_y(n,m)} $ dove $ T{ * } $ è la trasformata di Fourier.
$ r_y(n,m) = $
1) $ E{y^2(n)} = 2p(1-p) $ se $ m=0 $ ;
2) $ E{y(n)*y(n-2)}= p(p-1) $ se $ m=+-2 $ ;
3) $ E{y(n)*y(n-m)}=E{y(n)}*E{y(n-m)} =0 $ per altri valori di $ m $ $ .

X(\nu)= sum_(n=-\infty)^(+\infty) x[n]* e^(-i2\piFn)= (1/T_c)*sum_(k=-\infty)^(+\infty) X(f)*\delta(f-kf_c) $
Quindi
$ |H(\nu)|^2= (1/100)*sum_(k=-\infty)^(+\infty) rect^2(f-k/10) $ giusto?
Allora $ r_y(m)= 2p(1-p)*\delta(m) + p(p-1)*[ \delta(m-2) + \delta(m+2)] $ corretto?
non dipendendo da n, nel passaggio al dominio della frequenza $ r_y(m) $ dovrebbe essere una costante e quindi diventare una somma di impulsi di dirac? Sono confuso su questo punto.
La potenza sarebbe infine uguale a
$ P_z=int_(-1/(2f_c))^(1/(2f_c)) S_z(f) df $ $ = int_(-5)^(5) S_y(f) *rect^2(f-k/10) df $ $ =int_(-5)^(5)S_y(f)df $ , se ho interpretato bene la definizione

[Quinzio]

Ciao Quinzio, grazie per aver risposto. Dunque ho che
$ S_z(f)= S_y(f) * |H(f)|^2 $
$ S_y(f)= F{r_y(n,m)} $ dove $ T{ * } $ è la trasformata di Fourier.
$ r_y(n,m) = $
1) $ E{y^2(n)} = 2p(1-p) $ se $ m=0 $ ;
2) $ E{y(n)*y(n-2)}= p(p-1) $ se $ m=+-2 $ ;
3) $ E{y(n)*y(n-m)}=E{y(n)}*E{y(n-m)} =0 $ per altri valori di $ m $ $ .

Fino a qui ci siamo.
Purtroppo da qui in poi inizia una confusione abbastanza preoccupante.

X(\nu)= sum_(n=-\infty)^(+\infty) x[n]* e^(-i2\piFn)= (1/T_c)*sum_(k=-\infty)^(+\infty) X(f)*\delta(f-kf_c) $

Questo cosa sarebbe ? La tdFourier di un segnale aleatorio ?
Allora, forse prima non sono stato chiaro abbastanza.
Con un segnale aleatorio non hai nessuna speranza di calcolare la trasformata di Fourier in forma chiusa.
E' per questo che l'esercizio ti fa lavorare con l'autocorrelazione.
Perche' l'autocorrelazione e' una delle poche proprieta' di un segale aleatorio che si conserva (modificato ma si conserva) quando il segnale passa attraverso un sistema LTI.
Capisci perche' ti fa calcolare l'autocorrelazione e la potenza di un segnale aleatorio attraverso un sistema LTI ?
Perche' sono tra le poche quantita' su cui si ha qualche certezza quando un segnale aleatorio passa per un sistema LTI.

Quindi
$ |H(\nu)|^2= (1/100)*sum_(k=-\infty)^(+\infty) rect^2(f-k/10) $ giusto?

Qui sei nella confusione totale. Cosa stai cercando di fare ?
Devi fare la trasformata della risposta all'impulso del sistema, la sinc.
Vai a prendere le tabelle precalcolate e la copi tale quale, facendo i dovuti riscalamenti e proporzioni.
Poi devi fare il modulo, quindi non devi fare niente perche' la trasformata della sinc e' un rettangolo centrato sull'origine.
Poi devi fare il quadrato e anche qui devi fare ben poco siccome devi fare il quadrato dell'ampiezza e basta.

Allora $ r_y(m)= 2p(1-p)*\delta(m) + p(p-1)*[ \delta(m-2) + \delta(m+2)] $ corretto?

Corretto... allora si e no. Tu hai fatto un'operazione corretta, nel senso che hai cercato un'interpretazione corretta della sequenza discreta e hai introdotto le delta di dirac.
Purtroppo il problema non e' scritto in modo completo e corretto, perche' una sequenza discreta e' un'astrazione e ti dovrebbero dire come tradurre la sequenza in una funzione continua.
Diciamo che usare le delta di Dirac e' corretto e andiamo avanti cosi'.

non dipendendo da n, nel passaggio al dominio della frequenza $ r_y(m) $ dovrebbe essere una costante e quindi diventare una somma di impulsi di dirac? Sono confuso su questo punto.

Si, speriamo che dopo questo esercizio le cose ti siano piu' chiare.
Allora hai la somma di 3 impulsi di Dirac.
Puoi applicare la linearita' della trasformata ?
La trasformata di una funzione traslata nel tempo la trovi nelle tabelle precalcolate ?

La potenza sarebbe infine uguale a
$ P_z=int_(-1/(2f_c))^(1/(2f_c)) S_z(f) df $ $ = int_(-5)^(5) S_y(f) *rect^2(f-k/10) df $ $ =int_(-5)^(5)S_y(f)df $ , se ho interpretato bene la definizione

Si ma non e' questione di interpretazione... nel tua formula cos'e' il $k$ ? Da dove lo prendo ?
Se uno ti chiede qual e' la potenza del motore di una Ferrari, gli rispondi con un integrale o con un numero ?
Alla fine devi arrivare a scrivere un numero, una quantita' non una formula, ad esempio $10 + 5 \sin(1) + \sqrt e$
Intanto pero' mettiamo a posto i punti precedenti.

[xh144fata]

Grazie per la pazienza, Quinzio. Allora
$ X(\nu)= sum_(n=-\infty)^(+\infty) x[n]* e^(-i2\piFn)= (1/T_c)*sum_(k=-\infty)^(+\infty) X(f)*\delta(f-kf_c) $
è la trasformata di Fourier di una sequenza che è frutto di un campionamento. In pratica ho pensato alla risposta impulsiva come un segnale campionato, mentre bastava andare a guardare la risposta in frequenza di un filtro passa-basso tempo discreto.
Le tue considerazioni mi aiutano ad avere le idee un po' più chiare, quindi sono ben accette.

Tornando alla funzione di autocorrelazione, trasformandola dovrei avere
$ 2p(1-p) + p(1-p)*[e^(-j2\piF(2)) + e^(j2\piF(2)) ] = 2p(1-p) + 2p(p-1)*cos(4\piF) $

Per la potenza ho che
$ P_z=int_(-1/2)^(1/2) S_x(F)*rect(F/10) dF = int_(-1/2)^(1/2) S_x(F) dF $ $ = 2p(1-p) + int_(-1/2)^(1/2)cos(4\piF)dF = 2p(1-p) $ . Giusto?

[Quinzio]

Per la potenza ho che
$ P_z=int_(-1/2)^(1/2) S_x(F)*rect(F/10) dF = int_(-1/2)^(1/2) S_x(F) dF $ $ = 2p(1-p) + int_(-1/2)^(1/2)cos(4\piF)dF = 2p(1-p) $ . Giusto?

Partiamo dalle "sottigliezze".
Perche' usi la $F$ maiuscola per indicare la frequenza quando tutto il mondo, il tuo libro e il tuo prof sicuramente usano la $f$ minuscola? Magari ti sembra una cosa insignificante, ma poi arriva il momento in cui si confonde con la $F$ di trasformata.
Perche' al posto della $S_Y$ usi la $S_X$?. Tra l'altro usando la $x$ minuscola ? Nelle variabili aleatorie la $x$ minuscola significa una cosa, la $X$ maiuscola un'altra.

Poi c'e' la cosa piu' grave. Dove hai trovato gli estremi dell'integrale $\int_{-1/2}^{1/2}$ ?
Per trovare la potenza totale devi integrare lungo tutto lo spettro quindi da $-\infty$ a $+\infty$.
Poi siccome c'e' la funzione $rect$ ...
Non e' che quegli estremi vengono dalla $rect$ ? Spero di no...

[xh144fata]

Allora, uso la $ F $ perché siamo in tempo discreto (in alternativa avrei potuto usare $ \nu $ ).
Sull'uso di $ S_x $ al posto di $ S_y $ è stato un errore di battitura, mentre l'uso delle minuscole è dovuto al fatto che il mio professore usa solo quelle ed ho finito anch'io per abituarmici. Sono consapevole della differenza tra le due ( $ X $ è una variabile aleatoria, mentre $ x $ è un'altra cosa), però grazie di avermelo fatto notare, farò più attenzione.
Per quanto riguarda poi gli estremi di integrazione, non vengono dalla finestra rettangolare ma da una formula copiata ahimé male.
Ricapitolando:
$ P_Z=int_(-\infty)^(+\infty) S_Y(\nu)*rect(\nu/10)d\nu =int_(-5)^(5) S_Y(\nu)d\nu $ $ = 20p(1-p) + 2p(p-1)*int_(-5)^(5) cos(4\pi\nu)d\nu = 20p(1-p) $
Questa dovrebbe essere la potenza. E' così?

[Quinzio]

Questa dovrebbe essere la potenza. E' così?

Ok.

Se vuoi fare un ultimo sforzo, potresti notare che ci sono due valori di $p$ per cui la potenza e' nulla.
Quanti segnali conosci a potenza nulla ?
Se torni al segnale iniziale, e gli applichi quei valori di $p$, che segnali trovi ? Ti torna che il segnale abbia potenza nulla ?

[xh144fata]

Dunque, ci sono effettivamente due valori ( $ p=0 ,p=1 $ ) per cui la potenza è nulla ed i segnali a potenza nulla dovrebbero essere tutti quei segnali ad energia finita (detti anche transitori).
Essendo $ p $ la probabilità che $ X(n)=1 $ , che $ p=0 $ o $ p=1 $ $ Y(n) $ dovrebbe valere comunque $ 0 $ , no?
A meno che, nel caso $ p=1 $ abbia la sottrazione di due gradini (di cui uno ritardato) e quindi un rettangolo. Però quest'affermazione mi lascia abbastanza perplesso.

[Quinzio]

Dunque, ci sono effettivamente due valori ( $ p=0 ,p=1 $ ) per cui la potenza è nulla ed i segnali a potenza nulla dovrebbero essere tutti quei segnali ad energia finita (detti anche transitori).

La potenza di un segnale e': $\int_{-infty}^{+infty} f^2(t) dt$, quindi l'unica soluzione di

$\int_{-infty}^{+infty} f^2(t) dt = 0 $ e' : $f(t) = 0$, ovvero il segnale nullo. Se ci pensi bene e' cosi'.

Essendo $ p $ la probabilità che $ X(n)=1 $ , che $ p=0 $ o $ p=1 $ $ Y(n) $ dovrebbe valere comunque $ 0 $ , no?

Corretto

A meno che, nel caso $ p=1 $ abbia la sottrazione di due gradini (di cui uno ritardato) e quindi un rettangolo. Però quest'affermazione mi lascia abbastanza perplesso.

Due gradini ?
Per $p = 0 $ hai che $x(n) = 0$
Per $p = 1 $ hai che $x(n) = 1$

Dove li vedi i gradini ?