Legge delle infezioni totali in una epidemia modellizzata con un modello SEIR Markoviano

[3m0o]

Ho difficoltà a capire come procedere in questo esercizio

Considera il modello SEIR con tasso di infezione $\lambda$, durata di latenza che segue una legge $p_L$, durata di infezione che segue una legge $p_I$. Sia $Z^N$ il numero totale di individui che sono stati infettati alla fine del epidemia. Abbiamo dimostrato che \(Z^N \xrightarrow{N \to \infty} Z\) in legge dove per ogni $k\geq 1$
\[ \mathbb{P}[ Z = k ] = \frac{1}{k} \mathbb{P} \left[ \sum_{i=1}^{k} X_i = k-1 \right] \]
e dove $( X_i)_{i \geq 1}$ sono i.i.d. con legge comune \( \operatorname{MixP}(p_I)\), ovvero
\[ \mathbb{P}[X=k] = \int_{0}^{\infty} p_I (dx) \mathbb{P}[P_x=k] = \int_{0}^{\infty} p_I (dx) e^{\lambda x} \frac{(\lambda x)^k}{k!} \]

Qual' è la legge di $Z$ quando
1) Il modello SEIR è Markoviano, i.e. $p_I$ e $p_L$ sono delle distribuzioni esponenziali ?
2) Quando il tempo di infezione è deterministico $p_I= \delta_{1/\gamma} $ per qualche $ \gamma >0$ ?


Domanda 1
Allora io ho per il punto 1) il prof mi ha detto che \( X_i \sim \operatorname{Geom}(p)\) per qualche $p$. Ma non capisco come dimostrarlo, siccome il processo è Markoviano allora $p_I $ è esponenziale e dovrei avere che
\[ \mathbb{P}[X=k] =\int_{0}^{\infty} p_I (dx) e^{-\lambda x} \frac{(\lambda x)^k}{k!} = \int_{0}^{\infty} \gamma e^{- \gamma x} e^{-\lambda x} \frac{(\lambda x)^k}{k!}dx \]
\[ =\int_{0}^{\infty} \gamma e^{- (\gamma +\lambda)x} \frac{(\lambda x)^k}{k!}dx \]
ma sinceramente non so come continuare.

Ora da qui vorrei capire la legge di $ Z$, abbiamo che la somma di variabili aleatorie che sono geometriche è un negativo binomiale, quindi sono tentato di dire che $Z$ è appunto un negativo binomiale. Mi chiedevo se quel $ \frac{1}{k} $ davanti a $ \mathbb{P}[X_1+\ldots+X_k = k-1]$ cambia qualcosa oppure no. Se sì in che modo, se no perché?