in un gioco a due giocatori ogni partita vinta frutta 1 punto e vince chi per primo raggiunge 10 punti.Due giocatori che hanno la stessa probabilità di vincere si sfidano.Qual è la probabilità che uno dei due vinca in un numero di partite minore o uguale a 12?
Ho letto la soluzione in rete a cura di alcuni tizi chiamati Rossi e Tomasi ma la trovo veramente lacunosa dal unto di vista logico. ecco il ragionamento che ho ricostruito (loro lo hanno completamente saltato)
facciamo finta che esista uno spazio di probabilità che modellizzi il problema, chiamiamo $\Omega$ l'insieme dei risultati e $\mathcal{P} (\Omega)$ 'insieme degli eventi e facciamo finta che $\mathbb{P}$ sia la nostra pseudo-probabilità. Ovviamente noi abbiamo la minima idea di chi siano quegli insiemi ma battezziamo gli pseudo-eventi
$ V=\{\text{ il giocatre vince }\ }$
$ V_10=\{\text{ il giocatre vince in 10 partite}\ } $
$ V_11=\{\text{ il giocatre vince in 11 partite}\ } $
$ V_12=\{\text{ il giocatre vince in 12 partite}\ } $
Anche non avendo la minima idea dell'ambiente matematico in cui stiamo lavorando per pure considerazioni svolte in italiano, usando un minimo di logica aristotelica possiamo azzardare
$V= V_10 \cup V_11 \cup V_12$ dove l'unione è disgiunta.
Ora se per assurdo $\mathbb{P}$ fosse effettivamente una probabilità potremmo scrivere $\mathbb{P}(V)=\mathbb{P}(V_10)+\mathbb{P}(V_11)+\mathbb{P}(V_12)$
adesso viene la parte più mistica.Come posso tentare di calcolare ad esempio $\mathbb{P}(V_10)$ ? Leggendo attentamente in italiano e sfruttando un ragionamento per analogia posso ritenere ragionevole confrontare la mia situazione con una moneta equilibrata lanciata dieci volte e quindi andare a sbirciare in un altro spazio di probabilità cioè quello di una moneta lanciata 10 volte . Questo spazio di probabilità è interamente costruito ad esempio possono considerare $\Omega_10=\{ \text{tutte le stringhe di lunghezza 10 che contengono lettere T o C} \}$ e dotarlo della probabilità $\mathbb{P}_10 (\{\text{escono k teste su 10 lanci}\}) =\frac{10!}{k!( 10-k)!} \frac{1}{2^10}$
Pertanto per calcolare la pseudo-probabilità $\mathbb{P}(V_10)$ tramite unasorta di mappa iniettiva vado a lavorare su $\mathbb{P}_10(\{\text{escono dieci teste su dieci lanci}\}$ ed analogamente per calcolare per calcolare la pseudo-probabilità $\mathbb{P}(V_11)$ tramite unasorta di mappa iniettiva vado a lavorare su$ \mathbb{P}_11(\{\text{escono dieci teste su undici lanci}\}$ e così via.
Ora al di là di calcoli combinatori che andrebbero fatti per escludere delle stringhe che potrebbero essere contate più volte la domanda che sorge spontanea in un ragionamento sgangherato come questo è:
chi ci assicura che la pseudo-probabilità così costruita a sentimento $\mathbb{P}$ sia effettivamente una probabilità?
