Valore atteso di media alla quarta di variabili casuali

[AmedeoDes]

Buongiorno a tutti, mi trovo in difficoltà a capire i passaggi che hanno portato il mio professore a dire:

Sapendo che

$ E(X^4) = mu^4 + 6mu^2 sigma^2 + 3 sigma^4 $ con $ X ~ N(mu, sigma) $


allora:

$ E(bar(X)^4) = mu^4 + frac{6mu^2}{n} + frac{3}{n^2} $ in cui $X_i~ N(mu, 1)$ per ogni $i leq n $

[ghira]

Ti ha mostrato qualcuno di questi passaggi?

[AmedeoDes]

Dice di aver usato la riproduttività della normale, ma non ha mostrato come.

[Lampo1089]

Definita lo stimatore media aritmetica

\[
\bar{X} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i
\]

dove \(X_i\) (immagino) sono variabili casuali indipendenti uniformemente distribuite (eg ripetizioni dello stesso esperimento),
\[
E\left[\bar{X}^4\right] = E\left[\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)^4\right] = \frac{1}{n^4}E\left[\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^4\right] =\frac{1}{n^4}E\left[Y^4\right]
\]

dove la RV \(Y =\sum_{i=1}^n X_i \) è distribuita come una gaussiana con media pari alla somma delle medie e varianza pari alla somma delle varianze (per l'indipendenza)

per cui:
\[E\left[Y\right] = n \mu\]
\[Var(Y) = n\]
In quanto \(Y \sim N(n\mu,\sqrt{n})\) puoi arrivare easy al risultato