Caratterizzazione statistica di un rettangolo

[xh144fata]

Salve, ho questo esercizio del quale mi è stata proposta una soluzione che vorrei verificare.
" Si consideri il segnale $X(t)=rect(\frac{t}{2A})$ , dove $A$ è una variabile aleatoria che può assumere ciascuno tra i valori $2,4,8$ con probabilità $\frac{1}{3}$ ed il rettangolo è definito come $$ rect(\frac{t}{2A})= \begin{cases}
1 , \text{se } |t| \leq A ;
\newline
0 , \text{altrimenti}
\end{cases} $$
Di $X(t)$ calcolare:
1) La pmf del primo ordine;
2) La densità spettrale di energia;
3) La funzione di autocorrelazione. "

Soluzione proposta
I dubbi li ho sul punto 1, che riporto qui di seguito.
1) Ci rendiamo conto che $X(t)$ può assumere solo i valori 0 e 1, quindi si tratta di una variabile aleatoria bernoulliana con parametro $p$ variabile a in base a $|t|$ . Infatti abbiamo che:
Se $|t| \leq 2 $ allora $X(t)$ è una v.a. bernoulliana con parametro $p=1$ (assume il valore 1 con probabilità 1);
Se $2 < |t| \leq 4$ allora $p=\frac{2}{3}$;
Se $4 < |t| \leq 8$ allora $p=\frac{1}{3}$;
Se $ |t| > 8$ allora $p=0$ . Possiamo quindi scegliere la pmf di una qualunque tra queste bernoulliane come risposta al punto 1.
È veramente così? Non devo caratterizzare statisticamente il segnale nell'insieme?

[ghira]

1) Ci rendiamo conto che $X(t)$ può assumere solo i valori 0 e 1, quindi si tratta di una variabile aleatoria bernoulliana con parametro $p$ variabile a in base a $|t|$ .

Non è una distribuzione uniforme (continua)?

[xh144fata]

No, si tratta di una funzione rettangolare con parametro aleatorio $A$. Questa variabile aleatoria è discreta ed assume uno dei valori detti con probabilità $\frac{1}{3}$

[ghira]

No, si tratta di una funzione rettangolare con parametro aleatorio $A$. Questa variabile aleatoria è discreta ed assume uno dei valori detti con probabilità $\frac{1}{3}$

Ma $X(t)$ è continua. Come fa ad essere bernoulliana?

[xh144fata]

Per ogni $t$ reale, $X(t)$ è una variabile aleatoria discreta (bernoulliana), perciò ha un senso quello che mi è stato suggerito. Non sono sicuro del ragionamento però

[ghira]

"La pmf del primo ordine" cosa vuol dire? Pensavo "probability mass function" ma non può essere. E anche se fosse, "del primo ordine"?

[xh144fata]

La pmf è la Probability Mass Function; quella del primo ordine è definita come $p(x;t)= P(X(t)=x)$

[ghira]

$t$ è reale?

[xh144fata]

Sì, t è reale

[ghira]

Allora mi sa che non capisco dove sia la pmf.