A lezione abbiamo enunciato il teorema del limite centrale, che afferma che, considerata una successione $X_1, X_2,...,X_n$ di variabili aleatorie indipendenti, tutte con lo stesso valore atteso e la stessa varianza (finita), se $n->+oo$ allora la media campionaria di queste v.a. ha una distribuzione che, standardizzata, si può approssimare con una normale $N(0,1)$.
Siccome il nostro non è un corso particolarmente approfondito, mi sono sempre chiesto che senso abbia sapere come si distribuisce la media campionaria se l'ampiezza del campione tende ad infinito: è ovvio che la media campionaria tenda alla media aritmetica della popolazione, cioè la varianza della media campionaria tende a 0 e quindi tutte le medie campionarie che posso calcolare, dato un $n$ di ampiezza "molto grande", saranno infinitamente vicine al valore $\mu$ che voglio stimare.
La cosa che mi lascia perplesso è che questo teorema si possa generalizzare alla somma di infinite variabili aleatorie indipendenti, sempre tutte con la stessa media e la stessa varianza: data $Sn=\sum_{i=1}^n X_i$, avente $E(Sn)=n\mu$ e $Var(Sn)=n(sigma)^2$ (ovviamente $E(X_i)=\mu$ e $Var(X_i)=sigma^2$)
, si ha:
$(Sn - E(Sn))/(sqrt(Var(Sn))) = (Sn - n\mu)/(sigma*sqrt(n))$, se $n->+oo$, tale standardizzata si distribuisce come una $N(0,1)$.
Non riesco a capire il senso di interessarsi ad una distribuzione di una somma infinita di termini, non riesco proprio ad immaginarlo...