Indipendenza di variabili aleatorie

[vaghtr]

Buongiorno,
la traccia mi richiede di dimostrare i seguenti punti:

1) Dimostrare che se X è una variabile aleatoria certa, ovvero X=c per un qualche $cin R$, allora X e Y sono indipendenti.

2) Dimostrare che nel caso in cui X e Y sono binarie, ovvero |Im(X) = |Im(Y)| = 2, le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti se e solo se Cov(X,Y) = 0


Per la 1 ho ipotizzato ciò:

Dato che X è una v.a certa vuol dire che la sua probabilità è sempre 1. Ora dato che due variabili aleatorie sono indipendenti se la loro funzione di massa congiunta è uguale al prodotto delle marginali ho pensato per assurdo di condizionare Y ad X per dimostrare quanto segue:

$P(Y=yi|X=c) = {P(Y=yi, X=c)}/{P(X=c)}$

$P(Y=yi, X=c) =P(Y=yi|X=c)P(X=c)$

e dato che condizionare una variabile aleatoria ad una variabile certa non aggiunge molta informazione su come varia Y il tutto si riduce alla marginale di Y ossia:
$P(Y=yi, X=c) =P(Y=yi)P(X=c)$


2) Per la 2 basandomi sul fatto che essendo variabili aleatorie binarie esse per definizione assumono soltanto due valori, 1 o 0, testa o croce ecc... si può dimostrare per assurdo che:

X ed Y sono indipendenti ma la covarianza è diversa da 0. Quindi:

$Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = P(X=1,Y=1) - P(X=1)P(Y=1)$

Ma essendo indipendenti:

$Cov(X,Y) = P(X=1)P(Y=1) - P(X=1)P(Y=1) = 0$
Dimostrando l'assurdo

Per il senso opposto allora dimostro per assurdo che X ed Y sono dipendenti e la loro Covarianza è zero, quindi:
$Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = P(X=1,Y=1) - P(X=1)P(Y=1)$

Essendo Dipendenti X ed Y mi aspetto che la loro congiunta sia diversa delle marginali, ossia:

$P(X=1,Y=1) != P(X=1)P(Y=1)$

da cui:

$Cov(X,Y) = P(X=1,Y=1) - P(X=1)P(Y=1) = 0$ se e solo se:

${P(X=1, Y=1)}/{P(Y=1)} != P(X=1)$

$P(X=1|Y=1) != P(X=1)$

ossia condizionare X ad Y è diverso dalla marginale di X di conseguenza si dimostra l'assurdo, ossia la Covarianza è diversa da 0.

Ora quanto scritto finora è una mia ipotesi supportata da teoria pescata un po' qui e un po' li, dato che potenzialmente mi potrebbero essere chieste vorrei sapere se le dimostrazioni fatte sono a vostro avviso corrette o meno.

Grazie in anticipo

[ghira]

$P(Y=yi|X=c) = {P(Y=yi, X=c)}/{P(X=c)}$

$Y$ potrebbe non essere discreta, immagino.

[vaghtr]

$P(Y=yi|X=c) = {P(Y=yi, X=c)}/{P(X=c)}$

$Y$ potrebbe non essere discreta, immagino.

Scusate non l'ho scritto, no entrambe discrete