esercizio su probabilità condizionata

[_ester_]

salve, ho un dubbio sul seguente esercizio trovato su una dispensa online:

Tra i partecipanti ad un concorso per giovani compositori il 50% suona il pianoforte, il 30% suona il violino e il 20% la chitarra. Partecipano ad un concorso per la prima volta il 10% dei pianisti, il 33% dei violinisti e il 10% dei chitarristi. Sapendo che ad esibirsi per primo sarà un compositore alla prima esperienza, qual è la probabilità che sia un chitarrista?

uso la notazione che ho trovato nello svolgimento:
A: aspiranti compositori alla prima esperienza,
B: pianisti, C: violinisti, D: chitarristi

applicando la formula di bayes $P(D|A)=(P(A|D)P(D))/(P(A)$,
dove $P(A)=P(A|B)P(B) + P(A|C)P(C) + P(A|D)P(D)$. ora io avevo calcolato $ P(A|B)=0,1*0,5$ da cui, chiaramente, $P(A|B)P(B)=0,1*0,5*0,5$ e così gli altri due. invece sulla dispensa si ha $P(A|B)P(B)=0,1*0,5$. perché?
grazie in anticipo

[ghira]

"Partecipano ad un concorso per la prima volta il 10% dei pianisti"
$P(A|B)=0,1$

[_ester_]

non capisco: i pianisti sono il 50% del totale, P(A|B) identifica la probabilità che un compositore sia esordiente sapendo che è pianista, gli esordienti pianisti sono il 10% dei pianisti. perché non vale $P(A|B)=0,1*0,5$?

[ghira]

non capisco: i pianisti sono il 50% del totale, P(A|B) identifica la probabilità che un compositore sia esordiente sapendo che è pianista, gli esordienti pianisti sono il 10% dei pianisti. perché non vale $P(A|B)=0,1*0,5$?

Parlami della differenza fra $P(A|B)$ e $P(A \cap B)$.

[_ester_]

ecco, in effetti era una cosa su cui avevo confusione ma ora forse ho capito qualcosa in più.
sostanzialmente $P(A\cap B)$ è la probabilità che avvengano contemporaneamente gli eventi A e B, nello spazio campione (vale a dire, che siano esordienti e pianisti rispetto al totale dei compositori). $P(A|B)$ invece dovrebbe essere la probabilità che i due eventi avvengano contemporaneamente, ma restringendo il campione al sottoinsieme B, ovvero prendendo come casi favorevoli sempre quelli dell'intersezione e come casi possibili la cardinalità di B. è corretto?

[ghira]

Sì

[_ester_]

Grazie mille.