Variabili aleatorie stocasticamente indipendenti

[andreadel1988]

Sia \( (Ω, \mathcal{F}, P) \) uno spazio di probabilità, $X, Y : Ω → RR$ due variabili aleatorie. Constatare che se $Y$ dipende in modo deterministico da $X$ allora $X$ e $Y$ non sono stocasticamente indipendenti in $P$, per ogni $P$.

Intanto $Y$ dipende in modo deterministico da $X$ se la sigma algebra generata da $Y$ è contenuta in quella generata da $X$, quindi preso un elemento $\sigma(Y)$, ovvero $(YinH)$ dove $Hin\mathcal{B}$, esso appartiene a $\sigma(X)$, per cui si può scrivere come $(X inK)$ dove $Kin\mathcal{B}$. Quindi la condizione di indipendenza diverrebbe $P(X in(HnnK))=P(X inH)P(X inK)$ $AAK,Hin\mathcal{B}$. ora dovrei dimostrare che questa formula non vale qualunque sia $P$ la misura di probabilità, ma se adesso prendo come misura di probabilità la delta di Dirac in $x_0$ ottengo che questa formula è sempre vera (qualunque siano $X$ e $Y$ variabiili aletaorie), poiche se $1inHnnK$ allora $P(X in(HnnK))=1$ e $P(X inH),P(X inK)=1$ mentre se $1notinH$ (oppure $1notinK$) si ha che $P(X in(HnnK))=0$ e $P(X inH)=0$ (oppure $P(X inK)=0$).
Qualcuno mi sa dire, grazie.