Esercizio su valore atteso di variabili aleatorie

[andreadel1988]

Sia \( (Ω, \mathcal{F} , P) \) uno spazio di probabilità e $X : Ω → RR$ una variabile aleatoria e \( B \in \mathcal{F} \). Si definisca $Z : Ω → RR$ come segue:
$Z(\omega)={(E[X|B],if \omegainB),(E[X|B^C],if \omegainB^C):}$
Mostrare che indicando con \( \mathcal{G} \) la $\sigma$-algebra generata da $B$, se \( W \in m\mathcal{G} \) allora $E[WX]= E[WZ]$

Abbiamo che \( \mathcal{G}=\{\emptyset,B,B^C,\Omega \} \) ed \( \forall H \in \mathcal{B} \) si ha che \( (W \in H) \in \mathcal{G} \), inoltre si ha che $E[X]=E[Y]$, allora se si ha che $sigma(Z)={\emptyset,\Omega }$ automaticamente $X,W$ e $Z,W$ sono variabili aleatorie indipendenti fra loro per cui $E[WX]=E[W]E[X]=E[W]E[Z]=E[WZ]$. Se invece \( \sigma(Z)=\mathcal{G} \) allora dato che i punti sono Boreliani $EEalpha,betainRR$ distinti tali che $W(\omega)=alpha$ $AA\omegainB$ e $W(\omega)=beta$ $AA\omegainB^C$, per cui \( W=\alpha \mathcal{X}_B+ \beta \mathcal{X}_{B^C} \). Per cui \( E[WZ]=E[(\alpha \mathcal{X}_B+ \beta \mathcal{X}_{B^C})(E[X|B] \mathcal{X}_B+ E[X|B^C] \mathcal{X}_{B^C})=E[ \alpha E[X|B]\mathcal{X}_{B}+\beta E[X|B^C]\mathcal{X}_{B^C}]=\alpha E[X|B]E[\mathcal{X}_B]+\beta E[X|B^C]E[\mathcal{X}_B^C]= \alpha E[\mathcal{X}_{B}X] + \beta E[\mathcal{X}_{B^C}X]=E[ \alpha\mathcal{X}_{B}X+\beta \mathcal{X}_{B^C}X ]=E[WX] \)