Esercizio probabilità tiro con l'arco

[kiop01]

Ciao, sono perplesso su come si risolva questo esercizio:

Aldo e Bruno si sfidano al tiro con l'arco e decidono di continuare finché solo uno dei due centra il bersaglio. Supponiamo che i risultati di tutti i tiri siano indipendenti e che, ad ogni tiro, Aldo centra il bersaglio con probabilità 9/10 e Bruno con probabilità 4/5
Calcola la probabilità che Aldo vinca la sfida.

Io pensavo fosse una sommatoria su

$ sum_(k = 1)(1-Pa(1-Pb))^(n-1)*Pa(1-Pb) $

dove Pa è la probabilità che Aldo colpisca il bersaglio e Pb quella che lo colpisca Bruno, ma non sono sicuro che sia corretto in quanto risolvendo la geometrica corrispondente ottengo una probabilità del 26% che sembra bassina visto che Aldo è un tiratore migliore di Bruno

$(1-Pa(1-Pb))$ è la probabilità che Pa non vinca la sfida in un turno, $Pa(1-Pb)$ è la probabilità che la vinca

[ghira]

Ciao, sono perplesso su come si risolva questo esercizio:

Aldo e Bruno si sfidano al tiro con l'arco e decidono di continuare finché solo uno dei due centra il bersaglio. Supponiamo che i risultati di tutti i tiri siano indipendenti e che, ad ogni tiro, Aldo centra il bersaglio con probabilità 9/10 e Bruno con probabilità 4/5
Calcola la probabilità che Aldo vinca la sfida.

Il gioco ha 3 stati: $0$, lo stato inziale, $A$ dove ha vinto A e $B$ dove ha vinto B.

Le probabilità che vinca A dagli stati $A$ e $B$ sono abbastanza ovviamente 1 e 0.

$P(0)$ invece, cos'è?

$P(0)=9/10 * 1/5 P(A) + 1/10 * 4/5 P(B) + (9/10 * 4/5 + 1/10 * 1/5) P(0)$
$= 9/50 + 0 + (36/50 + 1/50) P(0)$

$13/50 * P(0) = 9/50$
$P(0) = 9/13$

[ghira]

$(1-Pa(1-Pb))$ è la probabilità che Pa non vinca la sfida in un turno, $Pa(1-Pb)$ è la probabilità che la vinca

Ma se vince B il gioco non continua...

[Quinzio]

Questo gioco non ha "memoria", nel senso che ad ogni turno, se nessuno ha vinto, si prosegue e quello che e' successo prima non conta. Quindi alla fine:

$P(" A vince ") = (P(" A fa centro "))/(P(" A fa centro ") + P(" B fa centro ")) = 9/17$

Non so, e' come pensare a due giocatori che tirano un dado.
Se esce 1, vince A, se esce 2 vince B, altrimenti si prosegue a tirare il dado.
La probabilita' che vinca A e' 1/2. Perche' dovrebbe essere altrimenti ?

[ghira]

Questo gioco non ha "memoria", nel senso che ad ogni turno, se nessuno ha vinto, si prosegue e quello che e' successo prima non conta. Quindi alla fine:

$P(" A vince ") = (P(" A fa centro "))/(P(" A fa centro ") + P(" B fa centro ")) = 9/17$

Ma se fanno centro tutti e due si continua.

Quindi magari:

$P(" A vince ") = (P("Solo A fa centro "))/(P("Solo A fa centro ") + P("Solo B fa centro ")) = \frac{\frac{9}{10}*\frac{1}{5}}{\frac{9}{10}*\frac{1}{5}+\frac{1}{10}*\frac{4}{5}}=\frac{9}{50}/{\frac{9}{50}+\frac{4}{50}}=\frac{9}{13}$

[Quinzio]

Si, e' corretto.

[kiop01]

$ P(0) $ invece, cos'è?

$ P(0)=9/10 * 1/5 P(A) + 1/10 * 4/5 P(B) + (9/10 * 4/5 + 1/10 * 1/5) P(0) $
$ = 9/50 + 0 + (36/50 + 1/50) P(0) $

$ 13/50 * P(0) = 9/50 $
$ P(0) = 9/13 $

Mi dispiace non ho capito cosa hai fatto

Questo gioco non ha "memoria", nel senso che ad ogni turno, se nessuno ha vinto, si prosegue e quello che e' successo prima non conta. Quindi alla fine:

$ P(" A vince ") = (P(" A fa centro "))/(P(" A fa centro ") + P(" B fa centro ")) = 9/17 $

Neanche qui, se il gioco non ha memoria e ogni tiro è indipendente l'evento Aldo vince non è semplicemente $P(A)=P(A fa centro)*P(B non fa centro)$?

[ghira]

Mi dispiace non ho capito cosa hai fatto

Se cominci nello stato 0 con quali probabilità sarai negli stati 0, A, B al prossimo giro? E da lì con che probabilità vince il giocatore A?

[kiop01]

Se cominci nello stato 0 con quali probabilità sarai negli stati 0, A, B al prossimo giro? E da lì con che probabilità vince il giocatore A?

Ok grazie ho capito cosa hai fatto, ma allora questo ragionamento da dove viene?

Ma se fanno centro tutti e due si continua.

Quindi magari:

$ P(" A vince ") = (P("Solo A fa centro "))/(P("Solo A fa centro ") + P("Solo B fa centro ")) = \frac{\frac{9}{10}*\frac{1}{5}}{\frac{9}{10}*\frac{1}{5}+\frac{1}{10}*\frac{4}{5}}=\frac{9}{50}/{\frac{9}{50}+\frac{4}{50}}=\frac{9}{13} $

[ghira]

Ok grazie ho capito cosa hai fatto, ma allora questo ragionamento da dove viene?

È la stessa idea. Ma ce ne freghiamo dello stato 0 quasi del tutto. Ci chiediamo "Quando lasciamo lo stato 0, dove andiamo?" Andiamo in A o B, ma con quali probabilità?