Calcolo combinatorio esercizio

[valerimartohan]

Una dita ha deciso di scegliere per i propri dipendenti dele password di acceso costituite da sequenze ordinate di 6 lettere scelte fra el 21 lettere dell'alfabeto italiano e
contenenti:
3 consonanti, tutte distinte, ordinate da sinistra a destra in ordine alfabetico;
3 vocali, anche ripetute, in un qualsiasi ordine.
lI numero delle password ottenibili in questo modo è?

La risposta è 1400000

Io ho fatto
Per le vocali (con ripetizioni, senza ordine) ho applicato questa formula
(5+3-1)
( 3 )
Per le consonanti (senza ripetizioni, con ordine) questa
16! / (3!( 16-3)!)

Come si prosegue?

[Umby]

Per le vocali perchè non hai fatto:

$5^3$ ?

--------------------------------

e poi.... devi disporre le 3 consonanti, nei 6 posti liberi ( o se preferisci le 3 vocali.. chè è uguale)

[Quinzio]

I modi di scegliere 3 consonanti tra le 16 disponibili (senza tenere conto dell'ordine) sono: $((16),(3))$.
Senza tenere conto dell'ordine significa che poi le metteremo in ordine ascendente.

Per trovare i modi di scegliere 3 vocali tra le 5 disponibili e' un po' piu' complicato:
- se le vocali sono tutte uguali ci sono 5 modi
- se ci sono 2 vocali distinte, queste 2 vocali distinte le possiamo scegliere in $5*4$ modi. La vocale singola puo' essere messa in tre posizioni distinte (prima, in mezzo, o dopo le altre 2 uguali). Quindi ci sono $5*4*3$ modi.
- se tutte le vocali sono diverse ci sono $5*4*3$ modi.

Adesso che abbiamo scelto le consonanti e le vocali si tratta di disporle in tutti i modi possibili, ad es. prima 2 vocali, poi una consonante, ecc.... oppure prima 3 vocali e poi 3 consonanti, ecc.. ecc..
Come se fossero 3 palline bianche e 3 nere e vanno trovate tutte le disposizioni.
In tutto ci sono $((6),(3))$ modi diversi.

Mettendo tutto assieme risulta:

$((16),(3)) (5 + 5*4*3 +5*4*3) ((6),(3)) = 1400000 $

$((16),(3)) (5 + 5*4*3 +5*4*3) ((6),(3)) = ((16),(3)) 5^3 ((6),(3))$

siccome

$n+n(n-1)3+n(n-1)(n-2) = $
$n(1+(n-1)3+(n-1)(n-2)) = $
$n(1+(n-1)(3+(n-2))) = $
$n(1+(n-1)(n+1)) = $
$n(1+n^2-1) = $
$n(n^2) = n^3$

[Umby]

Per trovare i modi di scegliere 3 vocali tra le 5 disponibili e' un po' piu' complicato:
- se le vocali sono tutte uguali ci sono 5 modi
- se ci sono 2 vocali distinte, queste 2 vocali distinte le possiamo scegliere in $5*4$ modi. La vocale singola puo' essere messa in tre posizioni distinte (prima, in mezzo, o dopo le altre 2 uguali). Quindi ci sono $5*4*3$ modi.
- se tutte le vocali sono diverse ci sono $5*4*3$ modi.

La prima puo' essere una delle $5$,
La seconda una delle $5$,
la terza una delle $5$.

$5^3$

Ergo: Disposizioni con ripetizioni