Legge dello statistico incosciente

[Silent]

Buonasera a tutti,
sto studiando la teoria della probabilità 'alla Jaynes', ovvero non utilizzando tutto il substrato teorico di teoria della misura e di integrale di Lebesgue.
Vorrei capire se esiste in tale quadro teorico 'limitato' una dimostrazione rigorosa (sotto le ipotesi che servono, anche se un pò più stringenti) del fatto che:

$$\mathbb{E}\{g(X)\}=\int_{x=-\infty}^\infty g(x)f_X(x)\mathrm{d}x$$

dove $X$ è una variabile aleatoria descritta dalla funzione di densità $f_X(x)$ e $g$ è una funzione non invertibile (continua, differenziabile, o quello che occorre).
Dalla pagina di wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_th ... atistician mi sembra di capire che una tale dimostrazione esiste, e passa a quanto pare per due cose (che nemmeno conosco, ma che studierò):

- Sard's theorem,
- coarea formula.

Vorrei chiedere, per favore, un vostro aiuto in merito a dove andare a studiare una dimostrazione seria di quella formula perché su internet sto avendo difficoltà.
Se avete magari un link, un documento, ecc...

Vi ringrazio in anticipo.