Come usare correttamente la deviazione standard di un campione

[Parcosan]

Buongiorno a tutti,

un oggetto in materiale composito viene realizzato in un processo manifatturiero:
Una volta uscito dallo stampo l'oggetto grezzo viene pulito dalle bave e quindi pesato. Il peso viene registrato nella tabella sottostante come "Peso grezzo".

La seconda fase produttiva è quella di "coprire i difetti" con del mastice per preparare la superficie alla verniciatura. Di nuovo l'oggetto viene pesato ed il peso registrato nella tabella come "Peso dopo mastice". Avendo due pesi è possibile calcolare per differenza il peso del mastice utilizzato, inserito in tabella come "Peso mastice".

La terza ed ultima fase produttiva è quella della verniciatura e lucidatura. L'oggetto viene pesato ed il peso registrato come "Peso dopo verniciatura". Di nuovo per differenza è possibile calcolare il peso della vernice applicata, inserito in tabella come "Peso vernice"

Posseggo quindi una tabella così composta:

ID	Peso grezzo misurato	Peso dopo mastice misurato	Peso mastice calcolato	Peso dopo verniciatura misurato	Peso vernice calcolato
1	2510	2710	200	2830	120
2	2630	2790	160	2900	110
3	2660	2950	290	3090	140
4	2620	2880	260	2990	110
5	2610	2720	110	2890	170
6	2600	2992	392	3060	68
7	2670	3170	500	3300	130
8	2660	2740	80	2870	130
9	2500	2790	290	2960	170
10	2630	2800	170	2992	192
media	2609	2854	245	2988	134
dev. std.	59.34	145.90	129.63	137.43	36.10

Per descrivere la deviazione standard del peso del manufatto verniciato, è più corretto usare:
1. La deviazione standard della colonna "Peso dopo verniciatura" pari a 137.43
2. Oppure la deviazione standard risultante dalla somma dei quadrati di "Peso Grezzo", "Peso Mastice" e "Peso Vernice" pari a sqrt(59.34^2+129.63^2+36.10^2)=147.06

Ogni vostro commento/suggerimento sarà molto apprezzato,

Saluti,

Parcosan

[LucaSt]

Ciao! Per descrivere la deviazione standard del peso del manufatto verniciato (variabile aleatoria) direi la deviazione standard della colonna "Peso dopo verniciatura", dato che è il riferimento della variabile aleatoria. Da dove sorge il dubbio?

[Parcosan]

Il dubbio mi viene dal fatto che la quantità di filler applicata, così come la quantità di vernice applicata non dipendono dal peso dell'oggetto in uscita dallo stampo.
Se provate a mescolare casualmente i pesi della vernice applicata (oppure del filler applicato) la prima formula varia, mentre la seconda formula resta sempre uguale.

Per semplicità riducete a due il numero di campioni osservati e considerate questo esempio:
2000+200+100=2300
1900+100+300=2300
La dev std del peso finale è zero, ma non lo sono le singole deviazioni standard dei pesi parziali.

[LucaSt]

In questo caso abbiamo la somma di variabili casuali indipendenti che si potrebbe assumere siano distribuite normalmente
\(X_1 \sim (\mu_1,\sigma_1^2), X_2 \sim (\mu_2,\sigma_2^2), X_3 \sim (\mu_3,\sigma_3^2)\)
il che produce una variabile casuale distribuita normalmente
\(X_S \sim (\mu_1+\mu_2+\mu_3,\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2)\)

L'osservazione che fai è interessante, direi che può essere dovuto alla differenza tra varianza teorica della distribuzione e la varianza campionaria. Cioè le varianze delle singole variabili casuali sono campionarie e la somma non può essere considerata la varianza teorica della distribuzione, ma aumentando il numero \(N\) dei campioni ci si dovrebbe avvicinare sempre più alla distribuzione teorica e al limite \(N \to \infty\) direi che le due varianze convergono.
D'altra parte, per ogni modo in cui ognuno dei tre valori \(X_1, X_2, X_3\) possono essere scelti tra quelli realizzati nel momento della pesatura, la somma genererà una serie di valori \(X_S\) che ha una varianza diversa. Non saprei dire se si possa parlare di distribuzione della varianza (quindi con media della varianza e varianza della varianza), però qualcuno sa dirci di più sono curioso!