Formula degli uncini

[bub]

Ho trovato questo testo https://amslaurea.unibo.it/11005/1/TESI_LATEX_-_Corretta.pdf online, lo stavo leggendo ma nella dimostrazione del teorema 1.1.1 non ho capito perché vale l'ultimo passaggio

$P(c = (a, b)) = e^mu/e^lambda$ con $mu$ equivalente a ollo schema che si ottiene da $lambda$ eliminando da questo la cella $(a,b)$.

Qualcuno sa aiutarmi a capire perché la probabilità che si raggiunga la cella esposta $(a, b)$ è proprio $e^mu/e^lambda$?

[ghira]

Puoi fare una domanda completa qui?

[bub]

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Non credo di essere capace di sintetizzare oltre e meglio, il teorema di cui parlo è praticamente all'inizio del testo (è il primo), non bisogna leggere molto per arrivarci, ma è abbastanza scorrevole fino a là, si riesce a capire tutto, se ci riesco io che non sono una cima (anzi tutt'altro ) immagino che tanti altri più bravi e con più dimestichezza capiranno più velocemente.
E' l'ultimo passaggio che non riesco ad afferrare come si dimostra.
Se cerchi in rete "Tabella di Young" https://it.wikipedia.org/wiki/Tabella_di_Young viene fuori questo argomento.
Data una di queste tabelle di $n$ caselle (hanno una forma particolare che si può associare alla partizione del numero di caselle e viceversa), si possono inserire i numeri da $1$ a $n$ (una sola volta ognuno) in maniera tale che siano ordinati da sinistra a destra e dall'alto in basso. Ogni numero in una casella deve essere maggiore dei due numeri che gli stanno, rispettivamente, sopra e a sinistra nella tabella.
In quanti modi diversi si possono inserire i numeri da $1$ a $n$ in una tabella specifica in questo modo?
C'è una formula abbastanza semplice per contare queste combinazioni (basata sulla misura della lunghezza dei ganci o uncini di ogni cella della tabella data, vedi in wikipedia o nel testo postato prima di cosa si tratta), la dimostrazione di cui parlo cerca di spiegare perché questa formula funziona per contare queste combinazioni.
Ho postato qua questa domanda perché il tipo di dimostrazione sfrutta concetti probabilistici.

Sono arrivato a cercare quel testo online così. Mi ero posto un problema relativo al mettere i numeri da $1$ a $n$ senza ripetizioni in una matrice a due dimensioni $a times b$ (numero di righe per numero di colonne) fino a riempirla, in maniera tale che fossero ordinati in ogni colonna dal più piccolo al più grande da sopra a sotto, e in questo caso una formula semplice c'è per contare il numero di queste combinazioni... $((a * b)!)/(a!^b)$, poi mi sono chiesto: e se fossero in ordine contemporaneamente lungo le righe e lungo le colonne i numeri da $1$ a $n = a * b$? C'è un modo per calcolare il numero di queste combinazioni? Ho pensato ad un algoritmo leggermente più semplice rispetto a quello che le tira fuori da tutte le combinazioni, ma lo stesso bisognava fare molti passaggi (lo stesso che è presente nella tesi online relativo al gettare via la casella col massimo o quello simmetrico che consiste nell'aggiungere quella col minimo).
Così ho cercato un po' in giro fino a che la chat dell'intelligenza artificiale di una persona a cui ho parlato di questo problema non ha tirato fuori questo argomento. La formula per calcolare queste combinazioni in una matrice $a times b$ applicando il principio degli uncini, di cui ho parlato prima, diventa abbastanza semplice...

$((a*b)!)/(\prod_{i=1}^(a)\prod_{j=1}^(b)(i + j - 1))$

Questa formula conta quante matrici $a times b$ esistono con i numeri da $1$ a $a * b$ inseriti in maniera tale che siano in ordine da sinistra a destra e dall'alto in basso rispettivamente in ogni riga e in ogni colonna.
Ma non è affatto intuitivo capire perché funziona.