VARIABILI ALEATORIE E DENSITA' DI PROBABILITA'

[sost]

ciao con la probabilità sono decisamente in difficoltà
qualcuno mi sa dire come faccio se io ho una densità di probabilità X
tale che

f(x)=1/3 per 2<=x<=5
e 0 altrove
a determinare la densità di probabilità Y=X^2

e se io ho una distribuzione di probabilità congiunta X,Y e mi si chiede di verificare se X e Y sono indipendenti come faccio?????
grazie

[Tipper]

Risulta $f_Y(\eta) = \sum_{i=1}^m \frac{f_X(\xi_i)}{|g'(\xi_i)|}$, dove $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_m$ sono tali che $g(\xi_i) = \eta$ per ogni $i = 1, 2, \ldots, m$.

In questo caso $g(\xi) = \xi^2$, pertanto $g(\xi) = \eta \implies \eta = \xi^2$. Se $\eta < 0$ l'equazione $g(\xi) = \eta$ non ha soluzione, pertanto $f_Y(\eta) = 0$ per $\eta < 0$. Altrimenti $\xi_{1} = \sqrt{\eta}$ e $\xi_2 = - \sqrt{\eta}$.

Se $\xi = 2$ allora $\eta = 4$, se invece $\xi = 5$ allora $\eta = 25$.

Per $0 \le \eta < 4$ risulta $0 < \xi_1 < 2$, e $-2 < \xi_2 < 0$, e in entrambi i casi la densità di probabilità di $X$ è nulla, pertanto anche per $0 \le \eta < 4$ risulta $f_Y(\eta) = 0$.

Per $4 \le \eta < 25$, risulta $2 \le \xi_1 < 5$ (in tal caso la pdf di $X$ vale $\frac{1}{3}$), e $-5 < \xi_2 \le -2$ (in tal caso la pdf di $X$ è nulla), quindi

$f_Y(\eta) = \frac{\frac{1}{3}}{|2 \sqrt{\eta}|} = \frac{1}{6 \sqrt{\eta}}$

Se $\eta \ge 25$ allora $\xi_1 \ge 5$ e $\xi_2 \le -5$, e in entrambi i casi la pdf di $X$ è nulla, pertanto $f_Y(\eta) = 0$ per $\eta \ge 25$. In definitiva la densità di probabilità di $Y$ vale

$f_Y(\eta) = \{(\frac{1}{6\sqrt{\eta}}, "se " \eta \in [4, 25)),(0, "else"):}$

Per il secondo punto, a partire dalla congiunta ti calcoli le marginali, se il prodotto delle marginali è uguale alla congiunta allora le variabili aleatorie sono indipendenti, altrimenti no.