equivalenza probabilistica

[leev]

Su un libro di prob leggo all'incirca così:
Sia $(A_n)$ una successione di insiemi misurabili; si ha $limSup A_n= \emptyset$ se e solamente se $lim_{n->oo} P(\bigcup_{m=n}^{oo}A_m) =0$.

Eppure mi pare che la seconda non implichi affatto la prima [considerando per esempio una successione costante contentente un unico elemento].

Ho mal digerito il pandoro o c'é del giusto in quello che dico??

[antrope]

Non so se ciò che sto dicendo è giusto, ma se fosse una successione costante l'unione come farebbe a essere vuota? Ovviamente avrebbe come risultato quell'elemento

edit: mi riferivo alla misura che comunque non dovrebbe essere vuota, non all'unione sorry

[leev]

Per una misura di probabilità, nel caso continuo, la probabilità di un singolo elemento é sempre $0$. No?!

[gugo82]

Per una misura di probabilità, nel caso continuo, la probabilità di un singolo elemento é sempre $0$. No?!

Forse no.

Prendi come spazio di probabilità $RR$ con la famiglia di misurabili $F$ costituita dalle parti di $RR$ e la misura di probabilità definita qui sotto:

$P:F to [0,+oo[ quad $ con $quad P(E)=\{ (1, " se " 0in E),(0, " se " 0notin E):}$.

Evidentemente $P({0})=1!=0$.

[leev]

Okay, temevo di essere contraddetto

Comunque sia, l'enunciato del primo messaggio che ho scritto, è falso?!?

[gugo82]

Non che mi intenda molto di probabilità...

L'unica cosa che ricordo al momento circa la probabilità del limite superiore è che sussiste il seguente teorema, detto Lemma di Borel-Cantelli:

Siano $(Omega,F,P)$ uno spazio di probabilità ed $(A_n)subset F$ una successione di eventi.
Risulta:

$\sum_(n=0)^(+oo)P(A_n)<+oo quad => quad P("limsup" A_n)=0$.

Dovrei analizzare meglio il problema prima di darti una risposta definitiva.

[Thomas]

secondo me tieni ragione, per quanto mi ricordo...

la tesi è vera se al posto di $limSup(A_n)$ ci metti $P(limSup(A_n))$.. anche perchè le due scritture in questo caso sono esattamente uguali..

ma altrimenti il tuo controesempio mi pare regga... basta prendere una qualsiasi misura di probabilità su R assolutamente continua rispetto alla misura di Lesbegue... dove i punti hanno quindi misura nulla... e prendere come insieme la successione costante uguale ad un punto... il limsup come dici te è il punto che è diverso dal vuoto.. ma la sua probabilità è sempre nulla...