Salve a tutti, come vedete sono un nuovo iscritto al forum e chiedo il vostro aiuto per una spiegazione sull'argomento delle variabili aleatorie assolutamente continue nel calcolo delle probabilità.
Secondo la teoria che ho studiato $F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(s) ds$ dove con $F_X(x)$ è indicata la funzione di ripartizione (f.d.r.) mentre con $f_X(x)$ è indicata la densità della variabile aleatoria assolutamente continua $X$.
Bene fino a qua mi sembra di aver capito, anche perché non indagando oltre non c'è molto da capire... Il problema si presenta quando mi metto a fare degli esercizi.
Prendiamo il caso in cui la densità è
$f_X(x)={(4x^3,if x in (0,1)),(0,if x notin (0,1)):}$
ed è necessario trovare la f.d.r.
Il risultato è
$F_X(x):={(0,if x<0),(x^4,if 0<=x<1),(1,if x>=1):}$
Il valore della f.d.r. per $x<0$ e per $x>=1$ lo do quasi per scontato, anche se intuisco solamente il perché senza avere un procedimento "meccanico" con cui ottenerlo.
Nella soluzione viene indicato che per $0<=x<1$ si calcola la f.d.r. come $F_X(x)=int_0^x 4s^3 ds=x^4$
Nel calcolo dell'integrale nessun problema, per il fatto che sia un integrale definito tra $0$ e $x$ anziché tra $-\infty$ e $x$ me lo spiego supponendo che la f.d.r. per $x<0$ è già stata calcolata e si possa quindi partire nell'integrazione dallo $0$ (capisco anch'io che come spiegazione fa un po' schifo, ma non ho trovato nulla a riguardo).
In qualche modo sino a qui me la cavo, il vero problema viene ora.
Prendiamo come esempio la seguente densità
$f_X(x)={(x/25,if 0<x<5),(-x/25+2/5,if 5<x<10),(0,text{altrove}):}$
Come prima bisogna calcolare la f.d.r.
Per prima cosa sia che per $x<0$, $F_X(x)=0$ e che per $x>=10$, $F_X(x)=1$; poi, procedendo come prima, per $0<=x<5$, $F_X(x)=int_0^x s/25 ds=x^2/50$.
Bene, arriviamo finalmente al nocciolo, cioè calcolare la f.d.r. per $5<=x<10$; quali sono gli estremi di integrazione?
Ho calcolato sia $int_0^x -s/25+2/5 ds$ (anche se non mi sembra molto sensato), sia $int_5^x -s/25+2/5 ds$ (che mi sembra già più sensato) ma nessuno dei due mi porta al risultato fornito dal libro cioè $F_X(x)=-x^2/50+2/5x-1$ (per $5<=x<10$).
Il discorso si ripete con altri esempi dell'eserciziario e non sono ancora riuscito a capire quali devono essere gli estremi di integrazione...
Spero in un vostro aiuto e nel frattempo vi ringrazio