Calcolo delle probabilità - Vettori aleatori continui

[Falcon]

Come vedete dal titolo sono ancora immerso nello studio di calcolo delle probabilità, ma sono molto vicino alla fine degli argomenti del corso
Sulla scia dell'ultimo mio thread, questa volta chiedo il vostro aiuto sui vettori aleatori continui e sul calcolo di densità e funzioni di ripartizioni congiunte e marginali.
Con i vettori aleatori discreti non credo di aver problemi mentre ho difficoltà nel capire il legame tra densità/fdr congiunte e marginali, non tanto in linea teorica ma matematica.
Veniamo al dunque: se mi viene data la densità congiunta come ricavo le densità marginali? Specifico che nella teoria si parla in generale di vettori di n elementi, mentre negli esercizi non si superano i due elementi, quindi mi focalizzerei in primis su quelli.
Secondo la teoria che ho studiato:

Se $f_X$ è la desità di un vettore aleatorio n-dimensionale assolutamente continuo $X=(X_i,...,X_n)$ allora $X_i$ è una variabile aleatoria assolutamente continua e la sua densità è
$f_(X i)(x_i)=\int_{RR^(n-1)}^{} f_X(s_1, ..., s_(i-1), x_i, s_(i+1), ..., s_n)...ds_n$

Quindi nel caso di un vettore bidimensionale il tutto si riduce ad un integrale su $RR$, il mio dubbio è però: come faccio a capire i limiti d'integrazione per le varie fdr congiunte?

Prendo un esempio

$f_(X,Y)(x,y)={(\lambda^2e^(-lambday),if 0<x<y),(0,text{altrove}):}$

Come limiti d'integrazione prenderei 0 e y, quindi per calcolare le densità marginali farei

$f_Y(y)=\int_{0}^{y} \lambda^2e^(-lambday) dx$
$f_X(x)=\int_{0}^{y} \lambda^2e^(-lambday) dy$

Ma i risultati non combaciano con quelli forniti.
Help
Grazie in anticipo

[antrope]

E' ovvio che non combaciano perchè per ottenere una marginale da una densità congiunta bisogna "saturare" l'integrale nell'altra variabile (nel caso di una densità bidimensionale). In parole povere se vogliamo ottenere $ f_x $ da $f_x,y$ basta integrare in $dy$ da meno infinito a piu infinito..

[Falcon]

Grazie per la risposta
Effettivamente è logico integrare da $-\infty$ a $\infty$ visto che nella teoria si parlava di integrazione su $RR$, solo che non mi quadra come possano risultare (dall'eserciziario) le seguenti densità marginali
$f_X(x)=\lambdae^(-\lambdax)$
e
$f_Y(y)=\lambda^2ye^(-\lambday)$


P.S: Grazie per aver spostato il thread, non avevo visto questa sezione

[luca.barletta]

Si ha
$f_X(x)=int_x^(+infty) lambda^2e^(-lambday)dy=lambdae^(-lambdax)$
e
$f_Y(y)=int_0^y lambda^2e^(-lambday)dx=lambda^2ye^(-lambday)$

[Falcon]

Grazie Luca, potresti anche spiegarmi il perché? Cioè come faccio a capire i limiti d'integrazione?

[luca.barletta]

innanzitutto devi capire qual è la regione in cui integri. Quando calcoli l'integrale in $x$ (per $f_Y$) sai che $0<x<y$, quindi gli estremi di integrazione sono $0$ e $y$; quando calcoli l'integrale in $y$ (per $f_X$) sai che $x<y$, cioè fissato un $x$ la $y$ può assumere tutti i valori maggiori di $x$, dunque gli estremi sono $x$ e $+infty$.

[codino75]

Grazie Luca, potresti anche spiegarmi il perché? Cioè come faccio a capire i limiti d'integrazione?

grafiacmente, sul piano xy classico, la zona in cui la prob e' diversa da 0 e' la regione compresa tra la retta y=x e il semiasse positivo delle ordinate.

[Falcon]

innanzitutto devi capire qual è la regione in cui integri. Quando calcoli l'integrale in $x$ (per $f_Y$) sai che $0<x<y$, quindi gli estremi di integrazione sono $0$ e $y$; quando calcoli l'integrale in $y$ (per $f_X$) sai che $x<y$, cioè fissato un $x$ la $y$ può assumere tutti i valori maggiori di $x$, dunque gli estremi sono $x$ e $+infty$.

Perfetto, credo di aver capito, quindi per esempio se ho densità congiunta
$f_(X,Y)(x,y)={(6/5(x^2+y),text{se 0<x<1 e 0<y<1}),(0,text{altrove}):}$
allora calcolo le densità marginali con
$f_X(x)=\int_{0}^{1} f_(X,Y)(x,y) dy$
e
$f_Y(y)=\int_{0}^{1} f_(X,Y)(x,y) dx$

Mentre se ho la funzione di ripartizione congiunta ne devo calcolare il limite per estrarre le parziali, per esempio
$F_(X,Y)(x,y)={(0,text{se x<=0 o y<=0}),(1-\lambdaxe^(-\lambday)-e^(-\lambdax),text{se 0<x<y}),(1-e^(-\lambday)-\lambdaye^(-\lambday),text{se 0<y<x}):}$
calcolo le fdr parziali con
$F_Y(y)=\lim_{x \to \infty}(1-e^(-\lambday)-\lambdaye^(-\lambday))=1-e^(-\lambday)-\lambdaye^(-\lambday)$
e
$F_X(x)=\lim_{y \to \infty}(1-\lambdaxe^(-\lambday)-e^(-\lambdax))=1-e^(-\lambdax)$

Spero di non aver scritto vaccate

Comunque c'è ancora una cosa che mi è un po' oscura, cioè come calcolare per esempio $f_(X+Y)(x+y)$ (o $f_(1/(X+Y))(1/(x+y))$) partendo da una densità congiunta come
$f_(X,Y)(x,y)={(1/2(x+y)e^(-(x+y)),text{se x,y>0}),(0,text{altrove}):}$

Grazie mille mi state dando un grande aiuto

[codino75]

Comunque c'è ancora una cosa che mi è un po' oscura, cioè come calcolare per esempio $f_(X+Y)(x+y)$ (o $f_(1/(X+Y))(1/(x+y))$) partendo da una densità congiunta come
$f_(X,Y)(x,y)={(1/2(x+y)e^(-(x+y)),text{se x,y>0}),(0,text{altrove}):}$

Grazie mille mi state dando un grande aiuto

questo e' invero moooooooolto piu' complicato...
di solito la mia esperienza e' che dievi passare attraverso la funzione di ripartizione.

[Falcon]

Uff non dirmi così che mi spavento
Sull'eserciziario indica
$f_(X+Y)(x+y)=f_(X+Y)(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_(X,Y)(z-y,y) dy = \int_{0}^{z} 1/2ze^(-z) du 1_((0,+\infty))(z) = z/2e^(-z)1_((0,+\infty))(z) \int_{0}^{z} du = z^2/2e^(-z)1_((0,+\infty))(z)

Solo che non ho ben capito che passaggi vengono fatti
Magari è una versione semplificata della teoria generale, o almeno spero
Grazie dell'aiuto