Calcolo delle probabilità - Vettori aleatori continui

[KaranSjet]

Grazie ancora per il tuo aiuto .
Guarda, sulla previsione ti sembrerà incredibile ma è il mio Prof. che usa questo termine. E continua ad usarlo, visto che negli ultimi appelli compare. Non sapevo fosse un termine così "strano"!
Ti chiedo il tuo pare su un ultimo (spero) esercizio:
Dato un vettore aleatorio $ (X,Y)$ con distribuzione uniforme sul cerchio unitario, calcolare la probabilità dell'evento $E={-1/3<=x<=1/3, -2/3<=y<=2/3}$ .
Non è difficile, ma ciò che non riesco a capire è il procedimento per calcolare la probabilità. Ho controllato sui miei appunti e sul libro, ma non sono riuscito a trovare chiare indicazioni. Eppure credo che sia molto importante, visto che la probabilità compare in molti altri esercizi sui vettori aleatori.

[elgiovo]

Il solito integrale doppio: $P[E]=P[(X,Y) in D]=int int_Df_(XY)(x,y)"d"x"d"y$, dove $D={(x,y) in RR^2 : -1/3<x-1/3 , -2/3<y<2/3}$.

[KaranSjet]

Elgiovo, avrei un quesito da sottoporti:

Un vettore aleatorio $(X,Y)$ ha distribuzione uniforme su $C=[1,3]x[0,1]$. Calcolare le funzioni di ripartizione marginali $F_X$, $F_Y$ e la probabilità dell'evento condizionato $E|H$, con $E=(Y-X<0)$, $H=(X<2)$.

Mi interessa la parte in grassetto. Purtroppo non so come iniziare; la presenza della disequazione nei due eventi mi confonde non poco, visto che non è presente un dominio "identificabile" come nel caso precedente.
Inutile dirti che per la comprensione dei vettori aleatori, per me sei stato preziosissimo .

[elgiovo]

Senza troppi conti direi che $P[E|H]=1$, visto che il dominio $C$ si trova interamente al di sotto della retta $y=x$. Il fatto che $X<2$ non influenza un granchè la probabilità, infatti ciò che si verifica è uno "spostarsi" della densità da $[2,3]times[0,1]$ a $[1,2]times[0,1]$.

[KaranSjet]

Ok, grazie . Se avessi dovuto fare dei conti, come avrei dovuto procedere? A tuo avviso posso applicare il metodo intuitivo in tutti i casi?

EDIT: Potresti darmi le formule generali per trovare le funzioni di ripartizione marginali?

[elgiovo]

Io avrei calcolato tramite intagrali doppi $P[E|H]=(P[E cap H])/(P[H])$. Il metodo intuitivo non può funzionare sempre, ad esempio se il dominio $C$ fosse stato intersecato dalla retta $y=x$ si sarebbe dovuto procedere per calcoli.

Venendo alla seconda domanda, cominci a stancarmi. Devi saturare!

$F_X(x)=F_(XY)(x,oo)=int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^x f_(XY)(xi,y)"d"xi"d"y$;
$F_Y(y)=F_(XY)(oo,y)=int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^y f_(XY)(x,omega)"d"omega "d"x$.

[KaranSjet]

Venendo alla seconda domanda, cominci a stancarmi. Devi saturare!

$F_X(x)=F_(XY)(x,oo)=int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^x f_(XY)(xi,y)"d"xi"d"y$;
$F_Y(y)=F_(XY)(oo,y)=int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^y f_(XY)(x,omega)"d"omega "d"x$.

Perdonami ancora Elgiovo, ma temo che il mio punto debole stia proprio qui. Il primo integrale tra $-oo$ e $+oo$, come faccio a risolverlo? Quali estremi vanno inseriti? Ti chiedo questo perché nel caso delle funzioni di ripartizione, non ho capito come va condotta la saturazione.
Grazie .

[elgiovo]

Essendo il dominio $C$ rettangolare è facilissimo integrare:

$F_X(x)={(0,x<1),(int_(1)^x int_0^1 1/(|C|)"d"y "d"xi,1<x<3),(1,x>3):}$

mentre

$F_Y(y)={(0,y<0),(int_0^y int_1^3 1/(|C|)"d"x"d"omega,0<y<1),(1,y>1):}$

[KaranSjet]

Esame egregiamente superato .
Elgiovo, ti ringrazio per i tuoi aiuti; una parte del mio successo appartiene probabilmente a te .

[elgiovo]

Esame egregiamente superato .

Bene!

una parte del mio successo appartiene probabilmente a te .

In tal caso, calcola questa probabilità. Nel frattempo, io calcolo i dindini che mi devi... Se non paghi, sappi che invierò i miei cecchini.