frequenza cifra rappresentazione base p

[blunotte]

Premesso che ho perso una lezione, vorrei un aiuto per capire come svolgere questo esercizio:

Sia $p \in {2,3,4,...}$ e $x \in [0,1]$. Sia $X_i^p$ l'i-esima cifra della rappresentazione in base p (non troncata) di $x$. Quanto frequentemente appare una data cifra $q$ nel mezzo della rappresentazione in base p di x?

In classe hanno fatto un esempio in base 2 (rappresentazione binaria): $x = sum_i 2^(-i) X_i^2$.
Nel caso di un numero con un numero finito di cifre (n) si ha: $P(X_i^2 = b_i, i = 2,..., n) = 1/(2^n-1)$ e $P(X_n^2 = b_n) = (2^(n-1)-1)/(2^n-1) = 1/2 -> 1/p$
Potreste spiegarmi perché? In un appunto c'è scritto che vale la legge forte dei grandi numeri, ma non riesco comunque a capire...