numero fagiuoli marci rimanenti?

[clrscr]

Ciao...scusami per la terza domanda ma l'ho interpretata nel modo errato.
Però penso di aver fatto qualche passo in avanti. Fermo restando di considerare "M" fagioli con probabilità uguali $p=P[\text{buono}], (1-p)=P[\text{fagiolo marcio}]$.
Dunque la domanda chiede:
$E[\text{numero di fagioli analizzati prima di trovare tutti i fagioli marci}]$, applicando il valore atteso condizionato si avrà:
$sum_(K=0)^M E[\text{numero di fagioli analizzati prima di trovare tutti i fagilli marci}|\text{ci sono K fagili marci}]*P(\text{K fagioli marci})$

Soffermiamoci sul calcolo del valore atteso:
$E[\text{numero di fagioli analizzati prima di trovare tutti i fagilli marci}|\text{ci sono K fagili marci}]$.
A tale scopo calcoliamo ci la seguente probabilità:
$P[\text{analizzare "m" fagioli prima di trovare tutti i marci}|\text{ci sono K fagioli marci}]=((m-1),(K-1))(1-p)^(K-1) p^(m-K) *(1-p)$, l'ultimo termine deriva dal fatto che l'ultimo fagiolo degli "m" anallizati dev'essere marcio.

Ora il valore atteso sarà:
$sum_(m=K)^M m ((m-1),(K-1))(1-p)^(K-1) p^(m-K) *(1-p)$ la somma parte da "K" visto che il numero di estrazioni non può essere inferiore al numero dei fagioli marci.

Per quanto riguarda la $P(\text{K fagioli marci})$ non è altro che:
$((M),(K))(1-p)^K p^(M-K)$.
Quindi riagganciando i vari pezzi si otterrà:
$sum_(K=0)^M (sum_(m=K)^M m ((m-1),(K-1))(1-p)^(K-1) p^(m-K) *(1-p)) ((M),(K))(1-p)^K p^(M-K)$