Sono indipendenti???

[el_pampa]

Siano X1, X2,... Xn+1 variabili casuali indipendenti ed equidistribuite assumendo il valore 1 con probabilità p e il valore 0 con probabilità 1-p che per comodità chiamo q. Poniamo Yi=0 se Xi+X(i+1) assume valori pari, Yi=0 se invece Xi+X(i+1) assume il valore 1. Sia da calcolare il valore di aspettazione e la varianza della somma S=Y1+Y2+...+Yn.

Si trova facilmente che Y=0 con prob p^2+q^2 e Y=1 con prob 2pq.
Il mio problema principale è riuscire a capire se le Y sono indipendenti oppure no. Infatti la media della somma è la somma delle medie mentre i casini si hanno nella varianza. Secondo me le Y sono dipendenti e quindi cerco di calcolare la covarianza ma per trovarla devo calcolare M (Yi, Y(i+1)) che non sono in grado. come si fa?

Grazie per l'aiuto

[clrscr]

Certo che sono dipendenti....
Basta vedere se $P[Y_(i+1)=k|Y_(i)=h]=P[Y_(i+1)=k]$, in questo caso sarebbero indipendenti.
Prendiamo come esempio questo caso:

$P[Y_(2)=1|Y_(1)=0]=p$ contrariamente a $P[Y_(2)=1]=2pq$. Il che prova la tua tesi.

[clrscr]

Per trovari ala covarianza tra $Y_i,Y_(i+1)$ l'unica complicazione sta nel calcolare il $E[Y_(i)*Y_(i+1)]$. Questo potrebbe essere risolto condizionando sull'evento $Y_(i)=k \text{ con } k=0,1$, quindi si avrà:
$E[Y_(i)*Y_(i+1)]=sum_(k=0)^1 E[Y_(i+1)*Y_(i)|Y_i=k]*P[Y_i=k]$ il che non presenta problemi...

[el_pampa]

Per trovari ala covarianza tra $Y_i,Y_(i+1)$ l'unica complicazione sta nel calcolare il $E[Y_(i)*Y_(i+1)]$. Questo potrebbe essere risolto condizionando sull'evento $Y_(i)=k \text{ con } k=0,1$, quindi si avrà:
$E[Y_(i)*Y_(i+1)]=sum_(k=0)^1 E[Y_(i+1)*Y_(i)|Y_i=k]*P[Y_i=k]$ il che non presenta problemi...

Oddio... Per me un pò di problemi li crea, cioè sarebbe: $E[Y_(i)*Y_(i+1)]= E[Y_(i+1)*Y_(i)|Y_i=0]*P[Y_i=0]+E[Y_(i+1)*Y_(i)|Y_i=1]*P[Y_i=1]$ però io sono sempre da capo perchè non so calcolare $E[Y_(i+1)*Y_(i)|Y_i=0]$