Compleanni in una stanza

[kardo]

Salve a tutti.
Quante persone devono essere presenti in una stanza affichè la probabilità che almeno due di esse compiano gli anni nel medesimo mese sia $1/2$? (mesi equiprobabili)

Il mio ragionamento è stato questo: l'evento A="almeno due persone compiono gli anni nello stesso mese" è complementare all'evento B="tutte le persone compiono gli anni in mesi diversi". Quindi:
$P(A)=1-P(B)$
Ora, $P(B)$ l'ho calcolato così:
$P(B)=12/12*11/12*10/12*...*(12-n+1)/12=(12*11*...*(12-n+1))/(12^n)$
da cui:
$P(A)=1-P(B)=1-(12*11*...*(12-n+1))/(12^n)=1/2$
$(12*11*...*(12-n+1))/(12^n)=1/2$
A parte il fatto che da qui non riesco a calcolare $n$, tutto questo sembra però essere sbagliato.
Infatti ho notato che sostituendo la soluzione ( ), l'uguaglianza non è verificata.
Evidentemente sbaglio qualcosa...

[Cheguevilla]

Io ho formalizzato la soluzione in modo diverso, anche se comunque i calcoli non sono più semplici.
Avendo k persone, possiamo dire che $((12),(k))$ è il numero di combinazioni di mesi di nascita per cui non c'è nessuna persona nata nello stesso mese di un'altra.
Mentre, il numero di possibili combinazioni è $((12+k-1),(k))$
Quindi, la probabilità che su k persone nessuno faccia gli anni lo stesso mese è $(((12),(k)))/(((12+k-1),(k)))$
Per cui è necessario porre $(((12),(k)))/(((12+k-1),(k)))=1/2$

Tuttavia, risolvendo il calcolo con un pc, viene fuori che non esiste nessun valore per cui quella quantità sia uguale ad $1/2$.

[adaBTTLS]

è la versione semplificata di un famoso problema di probabilità:

date n persone a caso, qual è la probabilità che tra esse ve ne siano almeno due con lo stesso compleanno?
la probabilità richiesta (dato n=numero di persone presenti) è $P(n)=1-(365)_n * 365^(-n)$, dove $(m)_n$ indica il fattoriale decrescente, e dove non si è tenuto conto degli anni bisestili.
P(22)=0.476, P(23)=0.507.
cioè fino a 22 persone presenti, è maggiore la probabilità che non vi siano due con lo stesso compleanno; a partire da 23 persone, è invece maggiore di 1/2 la probabilità che ve ne siano almeno due con lo stesso compleanno.

penso che anche nella versione semplificata, è da intendersi: qual è il più piccolo valore di n per cui è più probabile che vi siano almeno due persone nate nello stesso mese piuttosto che non vi siano?

ciao.

[franced]

Salve a tutti.
Quante persone devono essere presenti in una stanza affichè la probabilità che almeno due di esse compiano gli anni nel medesimo mese sia $1/2$? (mesi equiprobabili)

Credo che sia da intendere in questo modo:
"Quante persone devono essere presenti in una stanza affichè la probabilità che
almeno due di esse compiano gli anni nel medesimo mese sia almeno $1/2$ ?".