Integrabilità uniforme

[pat87]

Sia $H := (X_(lambda))_(lambda in Lambda)$ una famiglia di v.a. integrabili, ovvero $H subseteq L^1(Omega, F, P)$.
1) Provare che se $H$ è uniformemente integrabile, allora

$lim_{n to infty} su p_{X in H} int_n^{infty} P[|X|>t] dt = 0$

2) Prova o dai un controesempio per le seguenti asserzioni
i) $H = {X}$, dove $X in L^1$ è integrabile uniformemente.
ii) $H = L^1$ è integrabile uniformemente.
iii) $H := \{ X | E[|X|^2] le 1 \}$ è integrabile uniformemente.


Per la parte 2) ho fatto alcuni calcoli e soltanto iii) dovrebbe essere uniformemente integrabile.
Mentre per la parte 1) ho provato ad usare la formula:
$E[|X|] = int_0^(infty) P[|X| > t] dt$
e provare ad usare la convergenza dominata...ma non riesco a trovare una variabile aleatoria in $L^1$ che domina gli altri termini...

Chi mi sa aiutare?

[elgiovo]

Per l'1) mi è venuto in mente questo:
$H$ è uniformemente integrabile se, per $n to oo$, $"sup"_(lambda in Lambda) E[|X_lambda|chi_n] to 0$, dove $chi_n$ è la funzione indicatrice dell'insieme delle $zeta in Omega$ tali che $|X_lambda(zeta)|>n$. Ora, hai che $E[|X_lambda|chi_n]=int_0^oo P[|X_lambda|chi_n>t]"d"t=int_n ^oo P[|X_lambda|>t]"d"t$. Segue dalla definizione di uniforme integrabilità che $lim_(n to oo) "sup"_(X_lambda in H) int_n ^oo P[|X_lambda|>t]"d"t=0$.

[pat87]

Grazie!
Non riesco proprio a capire se il 2) ii) è falso o vero. Perché se si dimostrasse che fosse vero allora tutti gli altri due lo sarebbero...ma allora non avrebbe senso un esercizio del genere...
Non riesco a far vedere che è falsa...(se lo è)

[elgiovo]

se si dimostrasse che fosse vero allora tutti gli altri due lo sarebbero

Mi pare di no. Infatti nel primo caso basta trovare una v.a. $X in L^1(Omega,ccF,P)$ tale che $lim_(n to oo)E[|X|chi_n] ne 0$, mentre nel secondo bisogna trovare una famiglia di v.a. "divergenti" tali che $lim_(n to oo)"sup"_(lambda in Lambda)E[|X_(lambda)|chi_n] ne 0$, lo stesso per il terzo. Che proprietà ha la famiglia iii)? Perchè dici che ii) la implicherebbe?

[pat87]

Per il i) ho trovato che l'affermazione è giusta per la convergenza dominata...
abbiamo la sequenza di variabili aleatorie
$X_n := X*I_{|X| > n}$
esse sono tutte maggiorate da $|X|$:
$|X_n| = |X*I_{|X| > n}| le |X|$
ma $X$ è in $L^1$.
Segue che:
$lim_{n to infty} E[X_n] = E[ lim_{n to infty} X_n] = E[0] = 0$

Direi che se ii) fosse vera, allora anche la iii) sarebbe vera poiché in iii) si considerano sempre famiglie di v.a. integrabili (e che soddisfano quella condizione), quindi in $L^1$. Da cui se fosse tutta $L^1$ uniformemente integrabile, allora lo sarebbero tutti i suoi sottoinsiemi.