aiuto...non mi vuole entrare in testa :(

[dave03]

ho un (GROSSO) problema con le distribuzioni congiunte...
prendo come esempio questo esercizio che tra l'altro mi sembra semplice ma che non so come impostare per risolverlo.
Siano due variabili aleatorie continue X,Y con densità

$f(x,y) = 1$
soltanto se x,y appartengono al triangolo di vertici (0,0)(1,0)(1,2)

sia Z=X+Y, calcolare la funzione di ripartizione di Z.

Io ho impostato la soluzione in questo modo:
$F(Z) = P(Z<=z) = P(X+Y <= z)$

posso creare l'insieme A contenente tutte le coppie (x,y) tali per cui $x+y<=z$
quindi non dovrei fare altro che integrare la funzione di densità $f(x,y)$ in A...ma non so come fare...
qualcuno mi potrebbe aiutare per favore?

[clrscr]

In sostanza devi trovare l'area della parte interna al triangolo dato, con il vincolo $x+y<=z$ oppure $y<=z-x$, cioè la retta con coefficiente angolare $-1$ e intercetta $z$. Ad esempio per $z>=3$, fa funzione di ripartizione varrà $1$. I casi per $0<z<3$ te li lascio, è un piccolo esercizio di geometria. ciao ciao.

[dave03]

sembra impossibile ma non capisco proprio come mettere gli estremi di integrazione....

[Enzo]

Caro Dave03,
per mettere gli estremi di integrazione in modo giusto, vatti a leggere la mia discussione per il caso U=min(X,Y).
Meglio comunque ragionare in modo geometrico-analitico.
In questo caso devi solo badare a prendere le aree giuste per ogni valore di z (ti ricordo che in questo problema l'area giusta è il luogo geometrico dei punti per cui risulta: X+Y<z).
Allora fissa un valore z e traccia la retta di equazione x+y=z. Il luogo dei punti suddetto è il triangolo di vertici (0,0) (z,0) (0,z), ma non puoi prenderlo tutto, perchè x e y devono anche appartenere al triangolo di vertici (0,0), (1,0) e (1,2).
Quindi l'area giusta per ogni fissato z è l'intersezione dei due suddetti triangoli, che, fino a z=1, è un triangolo di vertici (0,0) (0,z) e (z/3, 2z/3), ma dopo diventa un quadrilatero di vertici (0,0) (1,0) (1, z-1), (z/3, 2z/3). Questo quadrilatero però
si scompone nell'unione di un trapezio con basi parallele all'asse x e un triangolo residuo, per ognuno dei quali dovrebbe essere facile calcolare l'area. Ti conviene fare così invece che scrivere degli integrali pasticciati, dove ti incarteresti subito nel tentativo di scrivere gli estremi di integrazione. Lo puoi continuare a fare solo se la densità di probabilità congiunta f(x,y) è dappertutto uguale a 1. Se no non puoi cavartela a buon mercato calcolando solo delle semplici aree e devi vedertela veramente con dei veri integrali, che ti spaccano il culo, non perchè siano difficili da calcolare, ma perchè sono difficili da scrivere! A proposito, perchè citi così spregiativamente Cauchy? Mica si è fatto solo i cazzi suoi quel cristiano!
A questo punto ti resta di fare dei calcoli da quinta elementare. Se non li riesci a fare, corri a riiscriverti alla scuola materna, vuol dire che ti sei perso qualcosa quando eri molto, ma molto giovane.

[dave03]

ti ringrazio della dettagliata risposta

ho omesso di scrivere che la risoluzione dell'esercizio chiedeva esplicitamente di calcolare le aree attraverso gli integrali, per questo avevo sto problema, perchè spesso non è così immediato capire quali sono i limiti superiore e inferiore di integrazione

per quanto riguarda Cauchy, era semplicemente na battuta, perchè quando a suo tempo ho fatto l'esame di analisi matematica la mia prof ce l'aveva su alla grande col "problema di Cauchy" che, diciamo, mi è andato un po' di traverso a sentirlo nominare (non ho nulla di personale contro di lui )