calcolo densità di probabilità di un integrale

[RaffaelloilSapiente]

Ciao. Domanda di probabilità (niente tombola o lotterie, tranquilli...).

Si abbia per ipotesi una v.a. rho con densità di probabilità (nota) p_rho. Si costruisca ora la v.a. w = int( rho ) data dall'integrale (eventualmente definito tra 0 e T: possiamo pensare che la rho integranda sia una funzione di t, quindi: w = int( rho(t) dt )). Qual è la densità di probabilità di w? (come si calcola?)

Ringrazio per illuminazioni natalizie

Bye
[/chesspos]

[elgiovo]

Se $bbrho=bbrho(t)$ non hai più una variabile aleatoria ma un processo stocastico. La determinazione della distribuzione di

$bbs=int_a^b bbrho(t)"d"t$,

che stavolta, come dicevi sopra, è una variabile aleatoria, è generalmente complicata, infatti $bbs$ è il limite della somma delle v.a. $bbrho(t_i) Deltat_i$ (integrale di Riemann), e considera che trovare la d.d.p. della somma di due sole v.a. è già difficile! Però puoi agevolmente trovare valor medio e varianza di $bb s$: scrivendo l'integrale come limite di una somma e usando il fatto che

$E[sum_k a_k bbx_k]=sum_k a_k E[bbx_k]$

si può dimostrare che

$E[bb s]=int_a^b E[bb rho (t)]"d"t=int_a^b eta(t) "d"t$.

Quanto alla varianza, il quadrato di $bbs$ si può scrivere come integrale doppio:

$bbs^2=int_a^b bbrho(t_1)"d"t_1 int_a^b bbrho(t_2)"d"t_2=int_a^b int_a^b bbrho(t_1) bbrho(t_2)"d"t_1"d"t_2$.

Considerando i valori attesi di entrambi i membri (qui scambio liberamente valori attesi e integrali)

$E[bbs^2]=int_a^b int_a^b E[bbrho(t_1) bbrho(t_2)]"d"t_1"d"t_2=int_a^b int_a^b R_(bb rho bb rho)(t_1,t_2)"d"t_1"d"t_2$,

dove con $R_(bb rho bb rho)(t_1,t_2)$ indico la funzione di autocorrelazione di $bb rho$. Da qui la varianza di $bbs$ risulta

$sigma_(bb s )^2=int_a^b int_a^b [R_(bb rho bb rho)(t_1,t_2)-eta(t_1)eta(t_2)]"d"t_1"d"t_2=int_a^b int_a^b C_(bb rho bb rho)(t_1,t_2)"d"t_1"d"t_2$.

Applicando quanto detto all'interessante v.a.

$bar bbrho_T=1/(2T) int_(-T)^T bb rho(t)"d"t$

si ottiene (supponendo $ bb rho(t)$ stazionario $to$ a valor medio $eta$ costante)

$E[bar bbrho_T]=eta$,

$sigma_(bar bbrho_T)^2=1/(2T) int_(-2T)^(2T)(1-(|tau|)/(2T))C_(bb rho bb rho)(tau)"d"tau$.

$bar bbrho_T$ è d'interesse perchè la media temporale del processo $bbrho(t)$ è definita come

$lim_(T to oo) bar bbrho_T$,

e da qui parte la cosiddetta "teoria ergodica".
Spero di esserti stato d'aiuto. Ciao

[RaffaelloilSapiente]

Si grazie per la risposta (ti sei espresso molto meglio di me ). Però cerchiamo di trovare la densità di probabilità dell'integrale, magari sotto ipotesi ragionevoli (ok, ho imparato a scrivere le formule ).

Supponiamo che abbia due v.a., diciamo $x$ ed $y$, statisticamente indipendenti; e di costruire $w = x+y$. Allora $p_w(w) = int_R p_x(x) p_y(w-x) d"x$ dove con $*$ ho indicato la convoluzione. Se ne ho tre (sotto le stesse ipotesi), la pdf della somma sarà la convoluzione delle tre. E così via. Una tecnica per trovare la p_w(w) senza fare la convoluzione è ovviamente trasformare secondo Fourier, ecc ecc.

Ipotizziamo ora (per semplificare ancora) che tutte le v.a. abbiano la STESSA pdf, quindi che io stia sommando "la stessa" v.a., cioè: $w = x + x$. A questo punto si semplifica un po' la cosa...

Quando mi dici che è il limite della somma delle v.a. $bbrho(t_i) Delta t_i$ (siamo sicuri che: la pdf del limite della somma è il limite della pdf della somma? una dimostrazione?), non capisco una cosa. Supponiamo che scelga una partizione uniforme. Ovviamente i $Delta t$ non sono v.a. quindi alla fin dei conti io sto semplicemente sommando le $bbrho(t_i)$. Quindi alla fine la strategia sarebbe:
1) calcolare la pdf della somma (che dipenderà da $Delta t_i$)
2) calcola il limite

In attesa, ringrazio

[elgiovo]

Ecco il link che spiega come scrivere le formule:
http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-t26179.html

Però cerchiamo di trovare la densità di probabilità dell'integrale, magari sotto ipotesi ragionevoli.

Fidati, non è una cosa fattibile. Non lo dico io, lo dicono i libri. Considera che nella maggior parte dei casi l'integrale di $bb rho(t, zeta)$ non esiste per ogni evento $zeta$ dello spazio campionario. Infatti un processo stocastico è generalmente qualcosa di "matematicamente mostruoso": prendi l'andamento della borsa (lo vedi dal sito del Corriere); normalmente lo si modella tramite moti browniani, ovvero processi ovunque discontinui! Qui l'integrale di Riemann fallisce miseramente (teorema di Vitali - Lebesgue). Si può definire $bbs$ in modo diverso. Se per esempio

$lim_(Delta t_i to 0) E{[bbs - sum_(i=1)^n bb rho (t_i) Delta t_i]^2}=0$

allora $bbs$ è definito come limite di una somma in media quadratica.
L'unica eccezione è quella dei processi $bbx(t)$ gaussiani; infatti se le v.a. $bbx(t_i)$ sono gaussiane allora l'integrale del processo, visto come somma di Riemann:

$int_a^b bbx(t)"d"t=sum_i bbx(t_i)Delta t_i$

è una v.a. gaussiana, in quanto combinazione lineare di v.a. gaussiane. Si potrebbe poi invocare il teorema centrale limite per processi i cui campioni agli istanti $t_i$ siano indipendenti e distribuiti in qualsiasi maniera: se

$lim_(n to oo) sum_(i=1)^n sigma_(bbx(t_i))^2 =oo$

e per qualche $alpha > 2$

$int_(RR) x^(alpha) f_i(x)"d"x<C$

con $C$ costante allora la distribuzione della somma delle v.a. è gaussiana.
Un esempio: il moto browniano (processo di Wiener-Lewy) $bbw(t)$ può essere definito come integrale del rumore bianco gaussiano $bbn(t)$, ovvero un processo normale, stazionario, con media nulla e spettro di potenza uniforme: $S_(bb n bb n)=alpha$. Si ha

$bb w(t)= int_0^t bb n (tau) "d"tau$.

La v.a. $bbw(t)$ è a media nulla e varianza

$sigma_(bbw(t))^2=R_(bbw bbw)(t)=alpha t$

e densità del prim'ordine

$f(w;t)=1/(sqrt(2 pi alpha t)) "exp"( -(w^2)/(2 alpha t))$.

siamo sicuri che: la pdf del limite della somma è il limite della pdf della somma? una dimostrazione?

E chi l'ha detto? Io ho scritto che il valor medio ($E[cdot]$) della somma è uguale alla somma dei valori medi!

[RaffaelloilSapiente]

Allora, forse non ho specificato che non vorrei avere la massima generalità... mi basterebbero dei casi particolari e senza troppo rigore

ESEMPIO. Supponiamo che tutte le $rho_i$ che definirò tra un attimo siano esponenziali (che è facile per i conti). Se io considero la somma
$w = sum_(i=1)^N rho_i$
posso calcolare facilmente $p_W(w)$.

A questo punto vorrei considerare $rho(t)$, processo stocastico, supponendo che qualsiasi v.a. estratta dal processo abbia pdf esponenziale. Se considero:
$z = int_A rho(t) dt$
vorrei conoscere $p_Z(z)$. Supponiamo che esista questo integrale secondo Riemann, ma mi va bene anche considerare una somma in media quadratica. Come me la posso cavare? Alla fin fine, come ho già scritto, i $Delta t$ non dovrebbero influenzare il calcolo, perché non sono aleatori...

In ultima analisi: c'è un legame tra $p_W(w)$ e $p_Z(z)$? In fondo dovrebbero essere l'una una forma approssimata dell'altra... almeno intuitivamente.

Poiché
$z = int_A rho(t) dt = lim_(N) sum_(i=1)^N rho(t_i) Delta t_i$
non è per caso che, indicando con:
$v = sum_(i=1)^N rho(t_i) Delta t_i$
e quindi con $p_V(v)$ la relativa pdf, si ha:
$p_Z(z) = lim_(N) p_V(v)$.

Si può fare una cosa del genere? Immagino ci siano molte ipotesi sulle convergenze di tutte le serie che ho scritto ecc ecc, ma supponendo che il tutto converga, $p_Z(z)$ si può ottenere con quel limite?


Grazie per le risposte finora

[elgiovo]

In ultima analisi: c'è un legame tra $p_W(w)$ e $p_Z(z)$? In fondo dovrebbero essere l'una una forma approssimata dell'altra... almeno intuitivamente.

Leggi sopra: sostanzialmente NO. Prova a controllare se la distribuzione esponenziale rispetta le ipotesi (che ho scritto poco fa) del teorema centrale limite; se così fosse, allora la distribuzione dell'integrale visto come somma di Riemann sarà gaussiana.

[elgiovo]

Poiché
$z = int_A rho(t) dt = lim_(N) sum_(i=1)^N rho(t_i) Delta t_i$
non è per caso che, indicando con:
$v = sum_(i=1)^N rho(t_i) Delta t_i$
e quindi con $p_V(v)$ la relativa pdf, si ha:
$p_Z(z) = lim_(N) p_V(v)$.

Si può fare una cosa del genere? Immagino ci siano molte ipotesi sulle convergenze di tutte le serie che ho scritto ecc ecc, ma supponendo che il tutto converga, $p_Z(z)$ si può ottenere con quel limite?

Mannaggia a te che mi cambi i messaggi mentre rispondo
Questo è proprio ciò che tenta di fare il teorema centrale limite! Altrimenti ti garantisco che andando a calcolare le convoluzioni non se ne viene fuori!

Grazie per le risposte finora

Prego

[RaffaelloilSapiente]

Si, in effetti hai ragione... se ne sommo infinite e sono rispettate le ipotesi del limite centrale, c'è poco da fare... gaussiana verrà!

Sai perché continuo a insistere? Oltre al perché sono un po' cretino (:-D), lo conosci il teorema del campionamento? Se si, supponiamo che la $rho(t)$ si possa scrivere come serie di uno sviluppo ortogonale in seni cardinali; oppure cmq si possa esprimere con uno sviluppo in serie ortogonale qualsiasi; a quel punto avrei dei "campioni" $rho(t_i)$. Ho capito che siccome sono infiniti, allora (se valgono le HP del TLC) la distribuzione sarà gaussiana. Però santo cielo: in tal caso, qualsiasi cosa io integri (sempre sotto le HP-TLC), l'integrale avrà distribuzione gaussiana!

Mi suona un po' strano e un po' normale (perché sommo v.a. infinite).

Continuo la riflessione

[elgiovo]

Però santo cielo: in tal caso, qualsiasi cosa io integri (sempre sotto le HP-TLC), l'integrale avrà distribuzione gaussiana!

Riguardo a questo, ti faccio notare che l'ipotesi $bb rho (t_i)$ indipendente da $bb rho (t_j)$ con $i ne j$ è molto restrittiva. In genere infatti non si può applicare il t.c.l.

Comunque ora che ho più chiaro il tuo intento, ti scrivo qua sotto un link a un mio precedente post (spero che tu mastichi l'inglese):

http://www.matematicamente.it/forum/stochastic-integral-quadrature-formula-t33444.html

in cui trovo una stima lineare nel senso dei minimi quadrati della v.a. $int_0^T bbs(t)"d"t$ come funzione delle v.a. $bbs(0)$ e $bbs(T)$. Tramite questa stima puoi pensare di approssimare la pdf dell'integrale.

[RaffaelloilSapiente]

mmmm molto molto interessante... e si può generalizzare a una combinazione lineare $sum_(k=1)^N s(t_k)$ ?

Ci penso... (sicuramente ci hai già pensato tu )