Perplesso da un esercizio

[Simplesso]

il testo dell'esercizio è il seguente:
In un'urna vengono inserite 2 palline, ciascuna delle quali può essere rossa o blu con la stessa probabilità.Si estrae a caso una pallina che viene reinserita, quindi si estrae di nuovo a caso una pallina : se entrambe le estratte sono risultate rosse, con che probabilità

a) entrambe le palline nell'urna sono rosse ?

b) estraendo nuovamente una delle due palline si trova una rossa ?

Mi sono scervellato tanto ma non sono arrivato da nessuna parte per me è un esercizio abbastanza ostico, potreste quindi illuminarmi sul procedimento.
Grazie mille.

[olaxgabry]

Io inizierei con il costruirmi il modellino probabilistico del tuo esercizio: sai che hai due palline in un'urna e ognuna delle quali può essere rossa o blu. Inizia con il considerare le tue possibili urne.
Poi pensa bene ai due punti: ad esempio sai che le due estrazioni con reimmissione hanno portato a due palline rosse. Calcolati le probabilità richieste in base a questa informazione (o condizionamento).
Fammi sapere se hai risolto.
Ciao

[Simplesso]

Mi dispiace ma non son riuscito a comprendere il tuo suggerimento, soprattutto nella seconda riga quando dici urne al plurale quando invece credo che nel testo ne parli solo di una. ':?'

[olaxgabry]

L'urna è sempre una: mi riferivo al fatto di come questa possa esser fatta; ad esempio può contenere 2 palline rosse, oppure 2 palline blu, oppure 1 rossa e 1 blu. Quindi la tua urna può essere fatta in tre modi, chiaramente equibrobabili.
Ora ti è più chiaro? Prova a ragionarci sopra e fammi sapere.

[EconMax]

Non e' detto che le tre possibili urne indicate da olaxgabry siano equiprobabili. Ad esempio, se le palline sono state messe nell'urna dopo averle estratte a caso da un altro contenitore che dentro ha lo stesso numero di palline rosse e blu, allora la tua urna ha una pallina rossa e una blu con probabilita' 1/2, che e' il doppio della probabilita' che le palline siano entrambe rosse o entrambe blu. Questo, tra l'altro, sembra essere proprio il caso del tuo esercizio, se ne hai riportato il testo fedelmente.

Per risolvere il problema usa semplicemente il Teorema di Bayes. La probabilita' ex ante che l'urna contenga due palline rosse e' 1/4 (sempre se il testo riportato da te sia corretto). Per calcolarti quella ex post calcola la verosimiglianza. Ti servono solo: la probabilita' che osservi due rosse da un'urna con due rosse (1), la probabilita' che osservi due rosse da un'urna con una rossa e una blu (1/4) e la probabilita' ex ante che l'urna contenga una rossa e una blu (1/2). La risposta ad a) quindi dovrebbe essere 2/3 [ ossia 1/4*1 / (1/4*1+1/2*1/4) ]

A quel punto e' semplice risolvere b) che dovrebbe essere 5/6 [ ossia 2/3*1 + 1/3*1/2 ]

[olaxgabry]

Non e' detto che le tre possibili urne indicate da olaxgabry siano equiprobabili. Ad esempio, se le palline sono state messe nell'urna dopo averle estratte a caso da un altro contenitore che dentro ha lo stesso numero di palline rosse e blu, allora la tua urna ha una pallina rossa e una blu con probabilita' 1/2, che e' il doppio della probabilita' che le palline siano entrambe rosse o entrambe blu. Questo, tra l'altro, sembra essere proprio il caso del tuo esercizio, se ne hai riportato il testo fedelmente.

Per risolvere il problema usa semplicemente il Teorema di Bayes. La probabilita' ex ante che l'urna contenga due palline rosse e' 1/4 (sempre se il testo riportato da te sia corretto). Per calcolarti quella ex post calcola la verosimiglianza. Ti servono solo: la probabilita' che osservi due rosse da un'urna con due rosse (1), la probabilita' che osservi due rosse da un'urna con una rossa e una blu (1/4) e la probabilita' ex ante che l'urna contenga una rossa e una blu (1/2). La risposta ad a) quindi dovrebbe essere 2/3 [ ossia 1/4*1 / (1/4*1+1/2*1/4) ]

A quel punto e' semplice risolvere b) che dovrebbe essere 5/6 [ ossia 2/3*1 + 1/3*1/2 ]

Credo tu abbia ragione, ho sbadatamente pensato all'equibrobabilità delle urne . Prendendo insieme le palline dall'altro contenitore e immettendole nell'urna, non mi tornano le probabilità 1/2 e 1/4, potresti postarmi i ragionamenti.
Thanks.

[Simplesso]

Complimenti EconMax i risultati tornano ma non ho ben capito la soluzione perchè devo usare il TH Bayes? cmq il fatto di avere 1/4 prob di 2R e 1/4 di 2Blu e 1/2 R e B ci sono arrivato ma perchè la prob di questo esercizio è condizionata ?

[olaxgabry]

Non e' detto che le tre possibili urne indicate da olaxgabry siano equiprobabili. Ad esempio, se le palline sono state messe nell'urna dopo averle estratte a caso da un altro contenitore che dentro ha lo stesso numero di palline rosse e blu, allora la tua urna ha una pallina rossa e una blu con probabilita' 1/2, che e' il doppio della probabilita' che le palline siano entrambe rosse o entrambe blu. Questo, tra l'altro, sembra essere proprio il caso del tuo esercizio, se ne hai riportato il testo fedelmente.

Per risolvere il problema usa semplicemente il Teorema di Bayes. La probabilita' ex ante che l'urna contenga due palline rosse e' 1/4 (sempre se il testo riportato da te sia corretto). Per calcolarti quella ex post calcola la verosimiglianza. Ti servono solo: la probabilita' che osservi due rosse da un'urna con due rosse (1), la probabilita' che osservi due rosse da un'urna con una rossa e una blu (1/4) e la probabilita' ex ante che l'urna contenga una rossa e una blu (1/2). La risposta ad a) quindi dovrebbe essere 2/3 [ ossia 1/4*1 / (1/4*1+1/2*1/4) ]

A quel punto e' semplice risolvere b) che dovrebbe essere 5/6 [ ossia 2/3*1 + 1/3*1/2 ]

Credo tu abbia ragione, ho sbadatamente pensato all'equibrobabilità delle urne . Prendendo insieme le palline dall'altro contenitore e immettendole nell'urna, non mi tornano le probabilità 1/2 e 1/4, potresti postarmi i ragionamenti.
Thanks.

Le cose mi tornano se supponi di prendere le palline dal contenitore e ogni volta questo presenta il medesimo numero di palline rosse e blu. Io pensavo all'estrazione contemporanea, ecco perché avevo risultati diversi, Comunque ti ringrazio per aver messo in evidenza la mia svista.
Per Simplesso: l'esercizio lo risolvi con Bayes perché hai un condizionamento rispetto all'informazione che entrambe le estratte sono risultate rosse.