Problemi di probabilità

[mariodic]

Propongo due problemi collegati tra loro, non certo difficili da risolvere, ma che hanno un retrogusto interessante. Tutto parte da una formuletta elementarissima che dà risposta alla semplice domanda: "data un urna con un rapporto di palline bianche rispetto al totale pari a p, e data una disponibilità massima di n possibili estrazioni consecutive, orbene, prima che l'osservatore dia inizio alle estrazioni, quante probabilità ha di veder apparire almeno una prima pallina bianca dopo di che sospendere le estrazioni?". E' appena il caso di ricordare che la formuletta risolutiva è la seguente:
$P_n=1-q^n$ dove $(q=1-p)$.
Per inciso devo evidenziare il fatto che $n$ può essere considerato un indicatore del "costo" necessario per elevare il livello di conoscenza dell'osservatore dal valore di probabilità iniziale $P$ al valore più elevato $P_n$.
Fatta questa premessa passiamo alla prima domanda del problema: sempre disponendo di n possibilità di estrazione, dopo quante estrazioni -in media- compare la prima pallina bianca, considerando nella media anche il caso di n estrazioni tutte fallite? La seconda è: posta uguale a M la media di cui alla precedente formula, qual'è l'espressione che fornisce la devianza $\sigma^2$ intorno a tale media.
Per concludere verificare se, minimizzando l'espressione anzidetta, azzerando la derivata di $\sigma^2$ e risolvendo l'esito questa derivata in M, risulti M uguale alla media di cui al primo problema.