DUBBI ECONOMETRIA

[EcoBanc]

Ciao a tutti,

sono nuovo di questo forum..
Approfitto di voi per chiarirmi alcuni dubbi, anzi precisamente 3, su temi econometrici anche se non so se è la sezione giusta..

Dubbio n.1:

Considerando due processi:
y(t) = A + Bx(t) + E(t)
x(t) = px(t-1) + n(t)
dove E(t) ed n(t) sono White Noise.

Se ponessi la condizione
0<p<1 : x(t) diventerebbe stazionaria al contrario di y(t) che rimarrebbe non stazionaria generando così una regressione spuria con tutte le conseguenze in termini di stimatori consistenti.
p=1 : entrambe diventerebbero non stazionarie e quindi (ponendo determinate condizioni su E(t) che sia stazionario) cointegrate con tutte le conseguenze del caso.

E’ vero? Son giuste le mie conclusioni?

Dubbio n.2:

Sotto quali condizioni:

ARMA(1,2) possiede la stessa funzione di autocovarianza di MA(1) ?
Procedo ad una fattorizzazione come di seguito ?
y(t)[1-OlL] = (1-p1L)(1-p2L)Et
se Ol=p2  y(t) = (1-p1L)Et  MA (1)
Sono da imporre condizioni di invertibilità o stazionarietà?
ARMA(1,2) possiede la stessa funzione di autocovarianza di WN ?
Impongo la stazionarietà  quindi ammette rappresentazione MA infinito  quindi grazie al teroema di Wold dimostro che ammette rappresentazione in termini di WN ?
Oppure seguo la regola secondo cui la medesima fx di autocovarianza è compatibile con due processi Arma (definiti da parametri diversi) di cui solo uno è invertibile?
ARMA(2,1) possiede la stessa funzione di autocovarianza di AR(1) ?
Procedo ad una fattorizzazione simile al caso precedente?

Dubbio n.3
In relazione alla ACF, si dice che stime dei coefficienti di correlazione si ottengono stimando con OLS il modello di regressione bivariato y(t) = Oy(t-1) + u(t).
Infatti si vede come trovando lo stimatore di 0 questo non è uno stimatore consistente del parametro di un ARMA (1,2) ma è lo stimatore consistente del coefficiente di correlazione.

Il mio dubbio è: se si stima con OLS un modello di regressione trivariato y(t) = O1y(t-1) +O2y(t-2) + u(t), anche in questo caso le stime dei parametri 01 e 02 corrispondono rispettivamente ai coefficienti di correlazione p1 e p2 di un ARMA (2,1)?
Nel primo caso (bivariato) si riesce a dimostrare in modo analitico perchè la formula dello stimatore è semplice, ma nel caso trivariato la formula è complessa nel senso che richiederebbe troppe sostituzioni. In quale altro modo si può dimostrare che si ottengono stime di p1 e p2 e non dei parametri di ARMA?

In relazione a questo si dice che per gli ARMA si usano stimatori ML per arrivare a stimatori consistenti di tutti i suoi parametri. Quindi io troverò stimatori consistenti dei parametri ARMA solo con ML e mai con OLS (che mi darà stimatori consistenti dei pk)?

[Fioravante Patrone]

[mod="Fioravante Patrone"]Multiposting e titolo in maiuscole, non è un bell'inizio...
Ti ho cancellato due dei tre post identici e ho lasciato solo questo.[/mod]

Nonostante questo, benvenuto!

[olaxgabry]

Ciao a tutti,

sono nuovo di questo forum..
Approfitto di voi per chiarirmi alcuni dubbi, anzi precisamente 3, su temi econometrici anche se non so se è la sezione giusta..

Dubbio n.1:

Considerando due processi:
y(t) = A + Bx(t) + E(t)
x(t) = px(t-1) + n(t)
dove E(t) ed n(t) sono White Noise.

Se ponessi la condizione
0<p<1 : x(t) diventerebbe stazionaria al contrario di y(t) che rimarrebbe non stazionaria generando così una regressione spuria con tutte le conseguenze in termini di stimatori consistenti.
p=1 : entrambe diventerebbero non stazionarie e quindi (ponendo determinate condizioni su E(t) che sia stazionario) cointegrate con tutte le conseguenze del caso.

E’ vero? Son giuste le mie conclusioni?

Hai il processo $X_{t}=pX_{t-1}+n(t)$: questo è un AR(1), quindi se |p|<1 il tuo processo è stazionario. Sotto questa condizione, anche il processo $Y_{t}=A+BX_{t}+E_{t}$ è stazionario perché combinazione lineare di due processi stazionari ($X_{t}$ e $E_{t}$).
Se $p=1$, allora $X_{t}$ è un random walk senza drift; $Y_{t}$ è anche non stazionario perché combinazione lineare di un processo I(1) ($X_{t}$) e di uno I(0) ($E_{t}$). Dato che $X_{t}$ e $Y_{t}$ sono entrambe I(1), è possibile che esista una relazione di cointegrazione: nel tuo caso questa è evidente e sarebbe $E_{t}=Y_{t}-A-BX_{t}$ perché $E_{t}$ è I(0).

[olaxgabry]

Dubbio n.2:

Sotto quali condizioni:

ARMA(1,2) possiede la stessa funzione di autocovarianza di MA(1) ?
Procedo ad una fattorizzazione come di seguito ?
y(t)[1-OlL] = (1-p1L)(1-p2L)Et
se Ol=p2  y(t) = (1-p1L)Et  MA (1)
Sono da imporre condizioni di invertibilità o stazionarietà?
ARMA(1,2) possiede la stessa funzione di autocovarianza di WN ?
Impongo la stazionarietà  quindi ammette rappresentazione MA infinito  quindi grazie al teroema di Wold dimostro che ammette rappresentazione in termini di WN ?
Oppure seguo la regola secondo cui la medesima fx di autocovarianza è compatibile con due processi Arma (definiti da parametri diversi) di cui solo uno è invertibile?
ARMA(2,1) possiede la stessa funzione di autocovarianza di AR(1) ?
Procedo ad una fattorizzazione simile al caso precedente?

Dipende da quello che il tuo prof intende: quando si definisce processo ARMA(p,q), si afferma che le radici del polinomio autoregressivo ed a media mobile debbano essere diverse; in tal caso dovresti calcolarti la funzione di autocovarianza di un ARMA(1,2) e imporre che questa debba essere zero dopo il lag 1.
Il tuo ragionamento è corretto se non necessariamente le radici dei polinomi debbano essere diverse: io penso che ti volesse far ragionare in questo modo, quindi imporre che la radice del polinomio autoregressivo sia uguale a una delle radici di quello a media mobile va bene.
Oppure, sotto l'ipotesi di stazionarietà ti scrivi il modello ARIMA(p,q) come un $MA(infty)$ e da qui imponi le tue condizioni. Insomma, dipende da come viene intesa la definizione di ARMA.
Gli altri sono simili: il secondo devi imporre che i coefficienti autoregressivi e a somma mobile siano 0, così che hai un WN.
Il terzo è simile al primo: o fai l'eliminazione delle radici (però dipende sempre dalla definizione di ARMA) oppure supponi che il tuo processo sia invertibile, lo scrivi come un $AR(infty)$ e va le dovute considerazioni.
Comunque vedi la definizione che hai di processo ARMA e fammi sapere così ci regoliamo su come interpretare gli esercizi.

[olaxgabry]

Ciao a tutti,
Dubbio n.3
In relazione alla ACF, si dice che stime dei coefficienti di correlazione si ottengono stimando con OLS il modello di regressione bivariato y(t) = Oy(t-1) + u(t).
Infatti si vede come trovando lo stimatore di 0 questo non è uno stimatore consistente del parametro di un ARMA (1,2) ma è lo stimatore consistente del coefficiente di correlazione.
Il mio dubbio è: se si stima con OLS un modello di regressione trivariato y(t) = O1y(t-1) +O2y(t-2) + u(t), anche in questo caso le stime dei parametri 01 e 02 corrispondono rispettivamente ai coefficienti di correlazione p1 e p2 di un ARMA (2,1)?
Nel primo caso (bivariato) si riesce a dimostrare in modo analitico perchè la formula dello stimatore è semplice, ma nel caso trivariato la formula è complessa nel senso che richiederebbe troppe sostituzioni. In quale altro modo si può dimostrare che si ottengono stime di p1 e p2 e non dei parametri di ARMA?
In relazione a questo si dice che per gli ARMA si usano stimatori ML per arrivare a stimatori consistenti di tutti i suoi parametri. Quindi io troverò stimatori consistenti dei parametri ARMA solo con ML e mai con OLS (che mi darà stimatori consistenti dei pk)?

In un processo ARMA stazionario ed invertibile, i tuoi parametri li puoi stimare:

1. metodo dei minimi quadrati ordinari.
2. massima verosimiglianza condizionata.
3. massima verosimiglianza.

In particolare, i metodi 1 e 2 coincidono. Comunque, sia con il metodo OLS che con quello ML, gli stimatori hanno la stessa distribuzione asintotica e sono consistenti.

[EcoBanc]

Grazie..sei stato pazientissimo..

Ho un dubbio sul terzo "dubbio"..

Nel mio libro di testo (cito un esercizio) si dice
"Supponiamo di voler stimare il modello dinamico y(t) = Oy(t-1) + E(t) + LE(t-1) quindi un ARMA (11)
si chiede:
quali sono le proprietà dello stimatore OLS di O?
Soluzione:

O stimato = somma y(t-1)y(t) / somma y(t-1) al quadrato
E' la formula di uno stimatore di una bivariata.
Insomma facendo poi tutti i passaggi si vede che pLim di O stimato è diverso da O ma è uguale alla formula del coefficiente di correlzione p1 di un ARMA (11)
Quindi si dice che per trovare uno stimatore consistente di O si applica il metodo IV utilizzando come strumento t(t-2)"

E questo viene..calcoli alla mano.

Ma se il testo mi dice
Si stimi un modello dinamico della forma y(t) = Oy(t-1) + O2y(t-2) + E(t) + LE(t-1) che è quindi una trivariata non posso procedere come prima perchè la formula dello stimatore di una trivariata è diverso e ci sarebbero troppe sostituzioni da fare.
Chiede: O stimato è stimatore consistente di O?
O2 stimato è stimatore consistente di p2 ovvero coeffiente autoregressivo di ordine 2?

Che risposta devo dare, motivandola?

Sul mio testo si scrive nella teoria:
Le stime di pk (coefficienti di autocorrelazione) possono essere ottenute mediante regressioni lineari bivariate y(t)=By(t-k) + E(t). In questo caso b è stimatore di pk ed è calcolato con lo stesso numero di osservazioni al num e den.
Se il processo è stazionario ed ergodico è stimaore consistente pLimb=pk"
Se io ho un trivariato invece che un bivariato, per dire che o2 stimato è stimaore consistente di p2 devo trasformare il modello trivariato in un bivariato (quindi y(t)=O2y(t-2) + E(t) + LE(t-1)) e procedere come sopra o non sarebbe corretto come metodo?

..Non capisco proprio..

[EcoBanc]

Per quanto riguarda ARMA

La domanda precisa che si fa è se un ARMA 2 1 può avere la stessa funzione di autocov di un MA 1 e se sì sotto quali condizioni?
Visto che è una sottodomanda non penso richieda il calcolo delle autoc d uno e dell altro ed il loro confronto ma penso che sia opportuno fare la fattorizzazione

Il libro presenta Arma come O(L)yt = B(L)et quindi usando operatore ritardo
è per questo che mi era venuta in mente la fattorizzazione

ARMA 2 1

O(L)= 1 - O1L - O2L
B(L) = 1 + B1L

(1-C1L)(1-C2L)yt = (1-VL)et
ponendo C2 = V1 yt mi diventa AR1

quindi fattorizzo..
Nel libro poi c'è scritto: Se polinomi OL e Bl del processo ARMA p q hanno radice uguale (presentano fattore comune) esisterà processo ARMA p-1 q-1 con le stesse propietà in termini di autov e autocr..quindi direi vada per la fattorizzazione.

Ragionando in questo modo
ARMA 1 2

(1-C1L)yt = (1-V1L)(1-V2L)et
ponendo C1= V1=V2=O quindi tutti i coefficienti della parte AR e Ma = 0 yt mi diventa WN ..
giusto?

[olaxgabry]

Allora condivido. L'importante è capire cosa intenda il testo.
Comunque ti è chiaro il punto 1? La cointegrazione è un concetto fondamentale, soprattutto se si passa agli AR vettoriali (VAR) con componenti I(1).