sia $(X_1,....,X_n)$ un camione casuale estratto da una popolazione la cui distribuzione dipende dal parametro $\theta$ legato al momento secondo $\mu_2$ mediante la seguente relazione:
$\mu_2=8+4\theta$.
a)usando il metodo dei momenti, determinare lo stimatore del parametro $\theta$
b)stabilire se lo stimatore ottenuto è corretto
come dice il titolo del post: penso proprio di non aver capito il metodo dei momenti. non ho capito cosa devo egualiare a cosa e se ho piu di un'incognita devo fare un sistema con i vari momenti della popolazione...se qualcuno puo darmi chiarimenti sull'esercizio o sul metodo grazie in anticipo
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metodo dei momenti... penso di non averlo capito proprio
da luked » 10/01/2009, 17:01
- luked
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da Andrea2976 » 17/01/2009, 18:47
Ricava $\theta$ dall'equazione, questo è semplice. Il metodo dei momenti consiste nel sostituire i momenti "veri" con quelli empirici, ora il momento secondo empirico lo si trova su un qualsiasi libro.
Per definizione si ha che:
$\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$
$\hat{\mu}_2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^{2}$
se si volesse ricavare uno stimatore dei momenti per la varianza $sigma^2$ allora si avrebbe
$\hat{sigma}^2=\hat{\mu}_2-(\hat{\mu})^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^{2}-(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)^2$
Il metodo dei momenti per la costruzione garantisce solo la "correttezza asintotica", quindi nel tuo caso dovrai farti il conto.
P.S. Ho usato il simbolo $\hat{}$ per indicare i momenti empirici.
Per definizione si ha che:
$\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$
$\hat{\mu}_2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^{2}$
se si volesse ricavare uno stimatore dei momenti per la varianza $sigma^2$ allora si avrebbe
$\hat{sigma}^2=\hat{\mu}_2-(\hat{\mu})^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^{2}-(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)^2$
Il metodo dei momenti per la costruzione garantisce solo la "correttezza asintotica", quindi nel tuo caso dovrai farti il conto.
P.S. Ho usato il simbolo $\hat{}$ per indicare i momenti empirici.
Ultima modifica di Andrea2976 il 19/01/2009, 10:55, modificato 1 volta in totale.
- Andrea2976
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da Andrea2976 » 19/01/2009, 10:56
Ho cambiato il messaggio precedente perché era inesatto. Per il tuo esercizio non cambia nulla...comunque.
- Andrea2976
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da seascoli » 26/01/2009, 23:21
A quel che vedo non si è data risposta al successivo quesito: dimostrare se lo stimatore é corretto.
Da quel che so, uno stimatore è corretto se il suo valore aspettato coincide col parametro che si vuole stimare.
Si tratta quindi di calcolare il valore aspettato di
$\hat{\mu^2} / 4 - 2$
e vedere se coincide con $\theta$. Giusto?
Ora, di grazia, qualcuno sa dirmi come si può fare questa verifica se non si conosce nemmeno il valore aspettato di X?
A meno che non si parli di momenti centrati.
In tal caso però la definizione stessa dello stimatore data da Andrea2976 sarebbe fuorviante ....
Da quel che so, uno stimatore è corretto se il suo valore aspettato coincide col parametro che si vuole stimare.
Si tratta quindi di calcolare il valore aspettato di
$\hat{\mu^2} / 4 - 2$
e vedere se coincide con $\theta$. Giusto?
Ora, di grazia, qualcuno sa dirmi come si può fare questa verifica se non si conosce nemmeno il valore aspettato di X?
A meno che non si parli di momenti centrati.
In tal caso però la definizione stessa dello stimatore data da Andrea2976 sarebbe fuorviante ....
- seascoli
da Andrea2976 » 30/01/2009, 22:54
Devi solo sostituire a $\mu_2$ lo stimatore dei momenti $\hat{\mu}_2$ e hai fatto.
Rispondo anche "seascoli", la tua domanda è pertinente in quanto per verificarne la correttezza (dello stimatore del caso in questione) bisogna controllare che la sua media uguagli il valore del parametro di interesse ($\theta$ nel nostro caso).
Tuttavia per come è stata posta la domanda non sembrano esserci tutti gli ingredienti in quanto manca la distribuzione del campione, che nel primo momento ho pensato non fosse stata citata solo per fretta.
Sul fatto che lo stimatore, da me proposto, sia fuorviante non capisco l'obiezione in quanto ho solo usato la definizione di stimatore dei momenti.
Rispondo anche "seascoli", la tua domanda è pertinente in quanto per verificarne la correttezza (dello stimatore del caso in questione) bisogna controllare che la sua media uguagli il valore del parametro di interesse ($\theta$ nel nostro caso).
Tuttavia per come è stata posta la domanda non sembrano esserci tutti gli ingredienti in quanto manca la distribuzione del campione, che nel primo momento ho pensato non fosse stata citata solo per fretta.
Sul fatto che lo stimatore, da me proposto, sia fuorviante non capisco l'obiezione in quanto ho solo usato la definizione di stimatore dei momenti.
- Andrea2976
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Problema dei momenti: notazione standard
da seascoli » 31/01/2009, 00:50
Scusate, torno a chiedere: di grazia, posso sapere di che momenti si tratta? di quelli ordinari o di quelli "centrati"?
Nei testi che normalmente uso i momenti ordinari sono definiti come:
$\m_k-=\int_{-infty}^{+infty}x^kf(x)dx$
mentre quelli centrati, posto $\mu-=m_1$ (valore aspettato della distribuzione in esame), sono definiti così:
$\mu_k-=\int_{-infty}^{+infty}(x-\mu)^kf(x)dx$
E' chiaro che il problema posto da "luked" cambia parecchio a seconda di quali momenti s'intendano.
Ed io ho il sospetto che si tratti dei momenti centrati, perchè non solo non si dice quale sia la distrib. di probabilità della variabile aleat. in questione, ma non si dà nemmeno il suo valore aspettato!
Se fosse vero quel che penso, ovviamente anche Andrea2967 non avrebbe, credo, alcuna difficoltà ad ammettere che il suo stimatore campionario
$\hat{\mu^2}-= 1/N\sum_1^N(X_i)^2
sarebbe totalmente fuorviante per la soluzione dell'esercizio.
Allora posso sapere di che momenti si tratta? Scusate la mia ignoranza!
Nei testi che normalmente uso i momenti ordinari sono definiti come:
$\m_k-=\int_{-infty}^{+infty}x^kf(x)dx$
mentre quelli centrati, posto $\mu-=m_1$ (valore aspettato della distribuzione in esame), sono definiti così:
$\mu_k-=\int_{-infty}^{+infty}(x-\mu)^kf(x)dx$
E' chiaro che il problema posto da "luked" cambia parecchio a seconda di quali momenti s'intendano.
Ed io ho il sospetto che si tratti dei momenti centrati, perchè non solo non si dice quale sia la distrib. di probabilità della variabile aleat. in questione, ma non si dà nemmeno il suo valore aspettato!
Se fosse vero quel che penso, ovviamente anche Andrea2967 non avrebbe, credo, alcuna difficoltà ad ammettere che il suo stimatore campionario
$\hat{\mu^2}-= 1/N\sum_1^N(X_i)^2
sarebbe totalmente fuorviante per la soluzione dell'esercizio.
Allora posso sapere di che momenti si tratta? Scusate la mia ignoranza!
- seascoli
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