rapporto di concentrazione di Gini

[ermes*]

Formula del rapporto di concentrazione di Gini:
$(\sum_{i=1}^(n-1) (F_i-Q_i)) / (\sum_{i=1}^(n-1) F_i)$

Si cha che:

$1-2/(n-1)\sum_{i=1}^(n-1) Q_i = 1 - 2/((n-1)A_n)\sum_{i=1}^(n-1) A_i$ sulla base che $\sum_{i=1}^(n-1) F_i = (1+2+...+(n-1))/n = (n-1)/2$

La mia domanda (scusate per la banalità) è: come si ottiene il risultato per cui
$(1+2+...+(n-1))/n = (n-1)/2$?

Grazie in anticipo per l'aiuto!

Ciao

Andrea

[Umby]

E' il concetto della media aritmetica.
E' lo stesso concetto di $1+2+3+......(n-1)+n=(n+1)/2$
Prendi i due estremi della serie (n) (1) li sommi e dividi per 2
ti stringi e prendi gli altri due (n-1) (2) la cui somma è sempre n+1
e cosi' via fino ad arrivare al centro....

[ermes*]

Ciao! Scusa ma temo di non avere ancora capito. Potresti per favore mostrarmi lo sviluppo per esteso? E in che modo stai utilizzando il concetto della media aritmetica?

Grazie,

Andrea

[Umby]

Prendi la serie:
1-2-3-4-5-6-7-8-9-10 (quindi n=10)

Puoi anche scriverla come:
1+10 (n+1) = 11
2+9 (n-1 + 2 = n+1) = 11
3+8 = ..... = 11
4+7 = 11
5+6 = 11

Prendendo le coppie a due a due ottieni (ovviamente) $n/2$ coppie ognuna delle quali ha come sommatoria 11 $n+1$

[ermes*]

Insomma, la somma dei primi $n$ interi positivi è $(n(n+1))/2$ (http://it.wikipedia.org/wiki/Progressione_aritmetica).
La somma dei primi $(n-1)$ interi positivi è $((n-1)n)/2$.
Dividendo per $n$: $((n-1)n)/(2n)=(n-1)/2$.

Ah ecco, era questo che mi mancava. Grazie a entrambi!