da Enzo » 25/01/2009, 05:30
OGGETTO: LA DISTRIBUZIONE DEL MINIMO DI 2 VARIABILI ALEATORIE INDIPENDENTI.
La variabile aleatoria U=min(X,Y) per X e Y uniformi in (0,1) e fra loro indipendenti ha:
Funzione di ripartizione: F(u) = 1-(1-u)(1-u) = 2u - u^2 fra u=0 e u=1
Funzione densità : f(u) = F'(u) = 2(1-u) fra 0 e 1, cioè un triangolo rettangolo di base 1 e altezza 2, appoggiato all'asse y.
Non riesco a capire perchè facciate TANTO CASINO per una questione così semplice.
SECONDO QUESITO: NO! NON PUOI CALCOLARE LA STESSA RISPOSTA (ESATTA) CON QUELLA MERDA D'INTEGRALE!
Intanto, è bene notare subito che la densità congiunta f(x,y) è 1*1=1 dappertutto nel quadrato Q(1) di lato 1, e zero fuori.
Pertanto, essendo l'integrando costante e uguale a 1, l'integrale esprime un'area, come somma infinita di tante aree elementari di tipo dx dy. Giusto?
Quello che sbagli è l'insieme di cui vuoi calcolare l'area, che erroneamente pensi sia il sub-quadrato Q(u) di lato u,
tutto dentro il quadrato Q(1), che ha per diagonale il segmento individuato dai punti (0,0) e (u,u).
L' area di questo quadrato (fai il disegno), sarebbe u^2, risposta questa che è sbagliata.
Il tuo errore è di tipo logico, non matematico.
E' vero che qualsiasi punto di questo quadrato ha la coordinata minima inferiore a u. Ma i punti di questo quadrato vanno oltre, perchè entrambe (e sottolineo "entrambe") le loro coordinate sono minori di u.
Ora, se il minimo di X e Y deve essere inferiore ad u, non è vero che "entrambi" X e Y (come tu hai inteso usando una "virgola": che è? una notazione nuova di tua invenzione?, o usi AND o usi OR, cazzo!) debbano essere inferiori ad u. Basta che lo sia uno qualsiasi dei due numeri aleatori, perchè il loro minimo lo sia!. Ora l'area che corrisponde a questa condizione NON è solo l'area del suddetto quadrato Q(u) bensì, se ci rifletti, l'intero quadrato Q(1) tranne il quadrato di lato (1-u), anche lui tutto dentro Q(1), che ha per diagonale il segmento individuato dai punti di coordinate (1,1) e (u,u). Questo quadrato che ha area pari a (1-u)^2 indichiamolo per favore con R(u).
Vediamo ora con due semplici esempi perchè ci sta bene non solo l'area di Q(u) ma tutta l'area di Q(1) tranne quella di questo quadrato R(u).
Per esempio, sia u=0.72. Prendi un punto fuori da Q(u) com'é ad esempio P=(0.3, 0.9) e disegnalo nel piano cartesiano x-y. Lo vedi? questo punto sta fuori dal quadrato Q(u), ma soddisfa altrochè la nostra condizione perchè la più piccola delle sue coordinate, cioè l'ascissa 0.3 è inferiore a u = 0.72, e tanto basta. Ma provati a prendere ora un punto dentro R(u), per esempio il punto (0.74, 0.82). Comunque lo prendi, sei certo di NON soddisfare la condizione richiesta. Infatti per ogni punto in quel quadrato R(u), sia x che y superano u , e la stessa cosa farà il loro minimo. Giusto?
Insomma, se fai il tuo bravo integrale doppio con estremi (0,u) e (0,u) stai calcolando solo l'area del quadrato Q(u) e ti stai perdendo due belle fasce rettangolari che, unite all'area u^2 di Q(u) coprono tutto il quadrato Q(1) tranne il piccolo quadrato in alto che é appunto R(u). L'area giusta, comunque si fissi u tra 0 e 1, è insomma:
Q(1) - R(u) = 1 - (1-u)^2,
Di nuovo, ma in modo puramente geometrico-analitico, si riottiene così lo stesso risultato che s'era trovato in modo logico-algebrico, cioè :
F(u) = u(2-u).
Chiaro? Se non ti è chiaro nemmeno così, ti conviene cambiare mestiere!
