Esercizio

[Simplesso]

Un esercizio che non so come risolvere

Nel computer c'è una cartella contenente 20 file, 3 dei quali sono stati danneggiati. Presi (senza reimmissione) 4 file a caso dalla cartella, sia X il nuemro di quelli difettosi. Determinare la funz di massa il val medio e la funz di distribuzione di X.
Grazie

[olaxgabry]

Io ragionerei in questo modo: prendi 4 file da una cartella di 20, di cui 3 difettosi D e 17 buoni B. Definisci poi $X$ il numero di file difettodi presi: $X$ può assumere valori 0, 1, 2 e 3. Ti può essere utile calcolare le singole probabilità.
Ora

$P(X=0)=P(B\e\ B\ e\ B\ B)=(17*16*15*14)/(20*19*18*17)=57120/116280$

$P(X=1)=3/20 * (17*16*15)/(19*18*17) * (4!)/(3!) = 48960/116280$

$P(X=2)=(3*2)/(20*19) * (17*16)/(18*17) * (4!)/(2!2!) = 9792/116280$

$P(X=3)=(3*2*1)/(20*19*18) * 17/17 * (4!)/(3!) = 408/116280$

Ho tenuto fisso il denominatore, senza fare semplificazioni, perché così è più evidente che la somma delle probabilità sia 1. Ora puoi sapere la massa, il valor medio e la funzione di distribuzione.
Se hai problemi fammi sapere.

[Simplesso]

Scusami ma non capisco, perchè ci sono dei fattoriali ?
cioè ho solo capito per P(X=0).

[olaxgabry]

Ti spiego il perché. Consideriamo il caso $X=1$: un possibile caso è che ti escano nell'ordine

D B B B

e di questa non hai problemi a calcolarti la probabilità. Ora tu devi considerare tutti i casi, ovvero

B D B B

B B D B

B B B D

Quindi la tua probabilità è la somma di queste singole probabilità. Per evitare di contare tutti i casi puoi ragionare in questo modo: parti da

D B B B

la cui probabilità è

$P(D\ B\ B\ B)=3/20 * 17/19 * 16/18 * 15/17$

Per capire tutti i casi da considerare: hai 4 elementi D B B B che devi disporre in gruppi da 4, ovvero devi fare considerare la permutazione di 4 elementi e questa è data da $4!$; il problema è che nei tuoi quattro elementi ne hai tre che si ripetono, quindi devi considerare le permutazioni con ripetizioni dividendo $4!$ per $3!$ (3 è il numero di volte che si ripete B) perché altrimenti considereresti più volte le stesse combinazioni: la formula è

$(4!)/(3!)=4$

Quindi la probabilità

$P(X=1)=3/20 * 17/19 * 16/18 * 15/17 * 4$

Analogo ragionamento per $X=2$: parti da una combinazione generica, tipo

D D B B

Questa probabilità deve essere moltiplicata per tutti i casi possibili, che sono

$(4!)/(2!2!)$

Qui divido per 2! (D si ripete 2 volte) e per 2! (B si ripete 2 volte).
Chiaro ora?

[Simplesso]

OK perfetto ora mi è tutto chiarissimo grazie mille

[Enzo]

Forse era il caso di accennare al fatto che la distribuzione di probabilità in questione si chiama:
IPERGEOMETRICA.
Se vuoi saperne di più, compresa la formula che dà il valore aspettato e la varianza, basta chiedere.