Esercizio 2

[adaBTTLS]

mi sto "convertendo" alla tua formula ricorsiva.
ti dico però che, nella prima formula ricorsiva sbagliata l'intento era quello di scrivere la probabilità dell'evento contrario al fatto che la sequenza si realizzi entro i primi n passi, dove n=N-k-1.
ora, ci sono n-k+1 sequenze di k possibili uscite su n lanci, e quindi N-2k soluzioni possibili, ciascuna con probabilità p^k. il problema è che in questo caso gli eventi sono tutt'altro che incompatibili, per cui non era lecito fare una semplice moltiplicazione.
ho provato ad aggirare l'ostacolo contando tutti i casi. però evidentemente sbaglio a contare i casi favorevoli, su un totale di 2^n. inoltre non so se vale più per ciascun caso la stessa probabilità di p^k.
insomma, nella parentesi quadra, dopo 1- ci andrebbe la probabilità che in n=N-k-1 lanci l'evento si realizzi almeno per k volte di seguito.
detto così, con n,k, sembrerebbe facile... ma ho incontrato difficoltà inimmaginabili.
ciao.

[Enzo]

"adaBTTLS": mi sto "convertendo" alla tua formula ricorsiva... etc.
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Avevo capito il modo come stavi ragionando e le difficoltà cui andavi incontro.
L'ostacolo maggiore, sì, é l'incompatibilità degli eventi che volevi sottrarre.
Difatti, se assegni a ognuno di essi probabilità $p^k$, vuol dire che non metti alcun vincolo sui posti restanti
e su questi posti quindi ci possono essere sia i 6 sia i non-6.
Quindi, ad esempio, per un N abbastanza grande, tipo N=40, i due eventi
1) 6666 dal 31.mo al 34.mo posto
2) 6666 dal 16.mo al 19.mo posto
hanno sì entrambi probabilità $p^4$, ma hanno intersezione non nulla essendoci almeno $ 6^(34-8)=6^26$
stringhe che hanno sia i 6666 dal 31 al 34.mo posto, sia gli altri 4 sei consecutivi dal 16.mo al 19.mo posto.
Questo numero sterminato di stringhe o possibilità tu le sottrai così più volte nella tua formula. E non solo quelle!
Ecco perchè, a furia di sottrarre oltre-misura, ti vengono probabilità non solo negative, ma divergenti!
Qual é la cura? Appunto la mia formula ricorsiva.
Perchè io sottraggo dalla certezza solo una somma di probabilità di eventi che sono tutti fra loro rigorosamente incompatibili. Questo perchè, per come abbiamo definito le P(N,k) , quando si verfica il relativo evento per un certo N,
il blocchetto di k 6 consecutivi può stare solo in fondo, per cui, per N diversi, non può esserci sovrapposizione fra gli eventi che considero per lo scarto (cioè per la sottrazione delle loro probabilità da 1 dentro la parentesi quadra).
Inoltre quelle che considero sono tutte e sole le possibilità che vanno scartate per ottenere la probabilità cercata.
Non so se mi sono spiegato. Fammi sapere se infine ti sei persuasa.
Ciao

[adaBTTLS]

persuasa sulla formula ricorsiva esatta, sì.
persuasa che non esista altro modo, ancora no.
persuasa sull'esattezza e sull'opportunità della formula algoritmica, no, perché l'ho trascurata e quindi non l'ho ancora metabolizzata.

d'altronde, è un problema vecchio (mi pare sia stato già affrontato sul forum) la questione di "belle formule ricorsive" che si tenta di trasformare in esplicite.
sì, forse, cercando sul forum, si possa trovare qualcosa: mi pare che Alvinlee88 avesse usato una trasformazione di una formula che io avevo in forma ricorsiva, e che quando io ero all'università il prof. ci disse che si cercava ma non si conosceva una forma esplicita di tale "formula" importante. mi riferisco ai numeri di Stirling di seconda specie: ne sai qualcosa?

ciao e grazie.

[vmalves]

Rispondo ad Ada in particolare.
Certo che li conosco, numeri di Stirling di 2.a specie!
Sono una mia ossessione. Continuano a spuntarmi fuori all'improvviso quando meno me l'aspetto.
La prima volta mi si presentarono circa 35 anni fa quando cercavo (e trovai), appena laureato, la rappresentazione diagonale della matrice di Tartaglia-Pascal (cioè quella fatta dei coeff. binomiali).
Fu un docente di Algebra che mi annunciò: hai riscoperto i numeri di Stirling!
L'ultima volta mi sono spuntati fuori nel tentativo di generalizzare le cosiddette formule di
Adams-Bashforth-Moulton che sono la base dei metodi multi-step di integrazione numerica delle
equazioni differenziali ordinarie, detti Predictor-Corrector.
Non credo comunque che spuntino fuori anche in questo problema degli N lanci per k "sei" consecutivi.
In ogni caso, quando mi servono i valori dei numeri di Stirling, ho il mio bravo algoritmo ricorsivo per calcolarli (uso MATLAB per programmare). Non c'è infatti una formula chiusa.
Anche il cosiddetto "numero di partizioni di un intero" è calcolabile, a quel che so, se non
sfruttando qualche loro proprietà ricorsiva, anche se c'è una formula mostruosa (approssimata
e asintotica) di Hardy-Ramanujan (1918) e una rappresentazione in serie convergenti di Rademacher
(anni 30-40) dove l'espressione di Hardy-Ramanujan è solo il 1° termine!
Insomma ESISTONO quantità (anche utili) esprimibili e calcolabili in forma ricorsiva, quantità che non si è
potuto (finora) esplicitare in forma chiusa.
Anzi sono la norma. Un po' come gli irrazionali in mezzo ai reali, mentre i razionali sono l'eccezione.
Ecco, da quel che mi dici, non capisco se hai già accettato di convivere con questi limiti circa la possibilità di trovare formule chiuse), oppure se ritieni un difetto il fatto stesso che una formula sia solo ricorsiva!

Concludo facendoti l'esempio più semplice di come si passa (solo quando si è fortunati) da una formula ricorsiva ad una formula chiusa (che, per quanto elegante, ripugna).
Numeri di Fibonacci.
DEFINIZIONE: F(0)=0; F(1)=1; F(N+1)=F(N)+F(N-1).
Tale formula ricorsiva è una eq.ne alle differenze finite omogenea: F(N+1)-F(N)-F(N-1)=0.
Dato che si tratta di un'eq.ne lineare nell'incognita F(N), proviamo la soluzione euristica: $x^N$
Ne segue subito per x l'eq.ne di secondo grado: $x^2-x-1=0$, che ha per radici
il rapporto aureo $\phi$ e il suo reciproco $\psi=1/\phi$, entrambi irrazionali.
Allora i numeri di Fibonacci, che, nota, sono sempre interi, possono esprimersi come
$F(N)=a\phi^N + b\phi^(-N)$
con $a$ e $b$ costanti opportune, facilmente determinabili prescrivendo le due condizioni iniziali
F(0)=0 e F(1)=1, o qualsiasi altra coppia di condizioni iniziali.
E' sorprendente che la somma di potenze N.me di 2 irrazionali dia sempre un intero per infiniti valori di N.
Ora, nonostante esista questa splendida formula chiusa, penso che, almeno per valori non grandi di N, qualunque persona ragionevole, se li deve calcolare, preferisca la formula ricorsiva.
Bene, spero di non aver detto solo ovvietà per te. Ci sentiamo stasera.

[seascoli]

Com'é che nessuno interviene più su questo argomento?
Mi sono letto quasi tutti gli interventi.
L'argomento è stimolante, ma non è stata ancora data una risposta all'ultimo quesito.
Perché? E' un problema troppo difficile?
O improvvisamente tutti hanno perso interesse per la cosa?
Grazie per gli eventuali chiarimenti.

[seascoli]

Penso di avere qualcosa di interessante in merito, al più entro domani ...