intervallo fiduciario di media e varianza

[pupazzetta]

salve ho il seguente problema

ho una realizzazione di un campione casuale (X1, ... , Xn) con n=50 e devo calcolare l'intervallo fiduciario per la media e per la varianza

per il primo intervallo ho usato la distribuzione di student (in quanto la varianza non è nota) con infiniti gradi di libertà visto che n>30 e quindi l'intervallo dovrebbe essere

(MC - t(alfa/2) * S/sqrt(n) ; MC - t(alfa/2) * S/sqrt(n))


per quanto riguarda il secondo intervallo pensavo di usare la distribuzione CHI - quadrato e quindi l'intervallo

((n-1)* S^2/CHI^2(alfa/2) ; (n-1)*S^2/CHI^2(1-alfa/2))

IL MIO DUBBIO E'? COME FACCIO A USARE QUESTO TIPO DI INTERVALLO SE I GRADI DI LIBERTA' DOVREBBERO ESSERE (n-1)=49 MA LA TABELLA ARRIVA AD UN MASSIMO DI N=30??
PER IL PRIMO INTERVALLO HO FATTO BENE?

[Enzo]

Cara pupazzetta,

Al 1° quesito rispondo che:
--- a)innanzi tutto per l'intervallo fiduciario per la varianza campionaria, se ben ricordo, devi usare la distribuzione di Fischer-Snedecor e non quella del chi-quadro;
--- b)se il no. di gradi di libertà N supera il massimo riportato in Tabella, puoi usare il valore limite per N->infinito, cioè praticamente la distribuzione normale (cfr. Teorema centrale del limite).

Al 2° quesito rispondo: sì, l'intervallo fiduciario (bilatero) per la media l'hai determinato bene.
ENZO

[pupazzetta]

caro enzo,

io ho studiato solo tre tipi di distribuzioni: DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARD (Zalfa), STUDENT, CHI-QUADRATO;

a quanto ho capito studiando la teoria e per quello che il prof ha spiegato, la prima va usata per il calcolo dell'intervallo per la media se è nota la varianza, la seconda se la varianza non è nota (come ho scritto sopra) e la terza per il calcolo della varianza usando come variabile cardine C=((n-1) S^2)/sigma^2

(IN EFFETTI, SEMPRE SE MI E' TUTTO CHIARO, AVREI DOVUTO AVERE COME IPOTESI CHE IL CAMPIONE E' TRATTO DA POPOLAZIONE NORMALE MA ESSENDO DI DIMENSIONE n>30 OTTENGO CMQ UNA BUONA APPROSSIMAZIONE)

in aula il professore ha fatto un esempio per il calcolo dell'intervallo fiduciario per la varianza e ha usato questo intervallo però in quel caso la dimensione del campione era 16 e quindi i gradi di libertà erano 15.

Cercando su internet ho trovato una tabella dei valori della distribuzione chi-quadrato che arriva fino a 100 gradi di libertà, mentre come ti ho detto, quella fornitami da lui si fermava a trenta; avrei potuto risolvere l'esercizio usufruendo di quella trovata ma mi è parso strano che lui mi avesse dato questo campione di dimensione 50 e una tabella che si ferma a 30 quindi mi è sorto il dubbio di aver sbagliato

ti ringrazio della risposta, almeno mezzo dubbio sull'intervallo fiduciario per la media me lo hai tolto

PS nella tabella della distribuzione Chi-quadrato non c'è il limite per N->infinito, valore che invece ho trovato nella tabella della distribuzione di Student

[Enzo]

OGGETTO: USO DEL CHI-QUADRO PER IL CALCOLO DI INTERVALLI FIDUCIALI PER LA VARIANZA TEORICA.
E' vero, per un problema come il tuo si usa la distribuzione del chi-quadro con N-1 gradi di libertà, dato che la media teorica della popolazione da cui si è estratto il campione di N osservazioni non è nota ( e quindi, nel calcolare la varianza campionaria S^2 occorre usare la media aritmetica calcolata sullo stesso campione). Se invece la media teorica è nota (e quando mai?) allora si usa sempre un chi-quadro, ma con N gradi di libertà, invece che N-1.
La distribuzione di Fisher-Snedecor si usa invece in un altro problema, quando cioè, avendo, non uno, ma due campioni, vuoi "test-are" l'ipotesi che i due campioni abbiano varianze uguali. Scusa per la mia svista.

Quanto alla tabella di valori del chi-quadro, è vero che neanche la mia tabella porta un valore limite per N--> infinito, ma la mia arriva almeno fino N=50. Tu usa pure la tabella che hai trovato in rete. Il tuo prof ti ha dato un problema che richiedeva anche questa tua capacità di ricerca. Comunque, a conferma di quanto ti ho già detto, ti cito questo passo preso da un buon testo di statitistica inferenziale ( Rizzi-Salvemini (1981) Elementi di inferenza statistica, La goliardica editrice, Roma ) :

"Il metodo appena illustrato per piccoli campioni (N<=30) è valido anche per i campioni di grandi dimensioni (N>30): per questi ultimi è comunque possibile, nella costruzione dell'intervallo fiduciale per la varianza, fare ricorso alla distribuzione normale di media (N-1) e varianza 2(N-1) che rappresenta la forma limite cui tende la distribuzione del chi-quadrato al crescere del numero dei gradi N di libertà (cfr. teorema centrale del limite)."

Da quel che so, già per N=50, l'errore introdotto usando la suddetta approssimazione normale, invece che la vera distribuzione del chi-quadro, è veramente trascurabile.
Ciò non ha niente a che fare con la richiesta che il campione di N dati, su cui si lavora, provenga da una popolazione normale. Questa è una condizione necessaria perchè l'intervallo fiduciale che si calcola per la varianza teorica, usando la distribuzione del chi-quadro (o la sua forma limite gaussiana per N grande) abbia veramente senso.
Ma in pratica tutti se ne fregano di questa richiesta previa e, qualunque sia il campione, si procede allo stesso modo come se fosse stato generato da una variabile aleatoria gaussiana.
Conviene tuttavia notare sempre con onestà questo probabile abuso della distribuzione del chi-quadro che si commette quando la si usa ache ove non sussistano le ipotesi per un suo corretto impiego.
Ciao, pupazzetta, stammi bene!

[pupazzetta]

Caro Enzo, grazie di tutto!

[annina83]

ciao, è la prima volta che scrivo..spero possiate aiutarmi

esrcizio:
la circoscrizione di bagnoli conta 24700 residenti di cui 11839 uomini e 12861 donne.
si decide di procedere ad un indagine campionaria per stimare la proporzione di cittadini favorevoli, ricorrendo ad un campione strtificato proporzonale cn variabile di startificazione maschi femmina.
1. si determini la numerosità campionaria per avere un errore massimo del 2% cn un livello di fiducia del 90%(utilizare la formula del campionamneto casula semplice)
2. si ripartuisca il campione determinanbdo il numero di maschi e di femmine chew dovranno essereintervistai.

grazie mille ragazzi aiutatemi è urgente