Ci sono diverse cose che non capisco nello schema di Ada. In particolare, non capisco:
1) quali sono le "cause" (o ipotesi) e quali "gli effetti" (ce ne deve essere almeno uno);
2) quali sono le probabilità a priori delle cause (occorre specificarle in ogni approccio à la Bayes);
3) quali sono le verosimiglianze delle cause dati gli effetti;
4) quali sono (se pure vengono calcolate) le probabilità a posteriori.
Praticamente non capisco nulla del suo schema.
Immagino che l'effetto da prendere in considerazione sia l'evento E = "escono almeno 10 teste".
Introduco allora le seguenti due "cause":
A) "su tutte e 12 le monete è uscita testa"
B) "il numero di teste, uscite sulle 12 monete, è inferiore a 12"
Calcoliamo le probabilità a priori. Si ha :
$P(A) = (1/2)^12 $ , ovviamente
e
$P(B) = 1 - P(A)$, trattandosi di eventi incompatibili ed esaustivi.
Calcoliamo ora le cosiddette "verosimiglianze" che sono delle probabilità condizionate:
$P(E|A)= 1$ Infatti se sono uscite 12 teste, altrochè se ne sono uscite almeno 10!
$P(E|B)= (P(B&E))/(P(B)) = \frac{(66+12)xx(1/2)^12}{1-P(A)}= \frac{78P(A)}{1-P(A)}$
Calcoliamo infine le probabilità a posteriori. In realtà ne basta una per i nostri scopi: P(A|E).
Questa è infatti la probabilità che "avendo osservato l'uscita di almeno 10 teste, le teste siano addirittura 12",
che è esattamente la probabilità chiesta da LucaG.
La formula di Bayes dà allora:
$P(A|E)= \frac {P(A)P(E|A)}{P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)}= \frac{P(A)}{ P(A)+[1-P(A])xx\frac{78xxP(A)}{1-P(A)}}=1/79$
___QED___
